Negative Binomial­verteilung: Warten auf den r-ten Erfolg.

Wenn du ein Zufallsexperiment mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit \({p}\) so lange unabhängig wiederholst, bis der \({r}\)-te Erfolg eintritt, und \({X}\) die Wartezeit darauf beschreibt. Typisch sind Würfeln, bis zum dritten Mal eine Sechs fällt, Freiwürfe bis zum fünften Treffer oder Kontrollen, bis das zehnte fehlerhafte Teil gefunden ist. Mit \({r = 1}\) ist das die geometrische Verteilung. Die negative Binomialverteilung heißt auch Pascal-Verteilung.

Zählt \({X}\) die Versuche bis einschließlich zum \({r}\)-ten Erfolg, nimmt \({X}\) die Werte \({r, r + 1, \ldots}\) an: \({\mathrm{P}(X = k)} = \binom{k - 1}{r - 1} \cdot p^{r} \cdot {(1 - p)^{k - r}}\) und \({\mathrm{E}(X) = r/p}\). Zählt \({X}\) nur die Misserfolge davor, beginnt \({X}\) bei 0: \({\mathrm{P}(X = k)} = \binom{k + r - 1}{r - 1} \cdot p^{r} \cdot {(1 - p)^{k}}\) und \({\mathrm{E}(X) = r(1 - p)/p}\). Die Varianz ist in beiden Fällen \({r(1 - p)/p^{2}}\). Manche Bücher vertauschen außerdem Erfolg und Misserfolg, prüf deshalb, wofür \({p}\) steht.

Bei der Variante mit den Versuchen heißt \({X = k}\): Der \({k}\)-te Versuch ist der \({r}\)-te Erfolg, und unter den \({k - 1}\) Versuchen davor sind genau \({r - 1}\) Erfolge. Für deren Lage gibt es \({\binom{k - 1}{r - 1}}\) Möglichkeiten, jede hat die Wahrscheinlichkeit \({p^{r - 1}(1 - p)^{k - r}}\), und der letzte Erfolg kommt mit \({p}\) dazu. Beim Würfeln bis zur dritten Sechs ist \({\mathrm{P}(X = 10)} = \binom{9}{2} \cdot {(1/6)^{3}} \cdot {(5/6)^{7}} \approx 0{,}0465\).

Mit der Binomialverteilung: \({X \le k}\) heißt, dass unter den ersten \({k}\) Versuchen mindestens \({r}\) Erfolge sind. Mit \({Y \sim \mathrm{B}(k; p)}\) gilt also \({\mathrm{P}(X \le k)} = {\mathrm{P}(Y \ge r)} = 1 - {\mathrm{P}(Y \le r - 1)}\), und \({\mathrm{P}(Y \le r - 1)}\) steht in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, für drei Sechsen höchstens 10 Würfe zu brauchen, ist mit \({Y \sim \mathrm{B}(10; 1/6)}\) also \(1 - {\mathrm{P}(Y \le 2)} \approx 1 - 0{,}7752 = 0{,}2248\). Bei der Variante mit den Misserfolgen nimmst du \({Y \sim \mathrm{B}(k + r; p)}\).

Gesucht ist das kleinste \({k}\) mit \({\mathrm{P}(X \le k) \ge q}\), also mit \({\mathrm{P}(Y \ge r) \ge q}\) für \({Y \sim \mathrm{B}(k; p)}\). Du probierst \({k}\) aus, etwa mit einer Tabelle der Binomialverteilung. Damit beim Würfeln mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit drei Sechsen dabei sind, brauchst du 36 Würfe, denn \({\mathrm{P}(X \le 35) \approx 0{,}9462}\) und \({\mathrm{P}(X \le 36) \approx 0{,}9529}\). Im Rechner wählst du dafür „\({k}\) gesucht“.

\({X}\) setzt sich aus \({r}\) unabhängigen, geometrisch verteilten Wartezeiten zusammen: bis zum ersten Erfolg, von dort bis zum zweiten und so weiter. Deshalb sind Erwartungswert und Varianz \({r}\)-mal so groß wie bei der geometrischen Verteilung: \({\mathrm{E}(X) = r/p}\) bei den Versuchen, \({\mathrm{E}(X) = r(1 - p)/p}\) bei den Misserfolgen und in beiden Fällen \({\mathrm{Var}(X) = r(1 - p)/p^{2}}\). Für die dritte Sechs brauchst du im Mittel \({3 \cdot 6 = 18}\) Würfe.