Weibull-Verteilung: Wahrscheinlichkeiten und Quantile berechnen.
Trag die Form k und die Skala λ ein, wähle die Schreibweise deines Buchs und was in deiner Aufgabe gesucht ist, und vergleiche mit deinem Rechenweg. Der Rechner zeigt dir den Weg über die Verteilungsfunktion mit der e-Funktion, Quantile, Bereiche, die Kennzahlen mit der Gammafunktion und die Dichtekurve.
- Beide Schreibweisen
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Häufige Fragen zur Weibull-Verteilung.
Wofür braucht man die Weibull-Verteilung?
Für Lebensdauern und Ausfallzeiten in der Zuverlässigkeitstechnik, außerdem für Materialfestigkeiten und Windgeschwindigkeiten. Die Form \({k}\) beschreibt, wie sich die Ausfallrate entwickelt: Bei \({k \lt 1}\) sinkt sie (Frühausfälle), bei \({k = 1}\) bleibt sie gleich (Zufallsausfälle, das ist die Exponentialverteilung), bei \({k \gt 1}\) steigt sie (Verschleiß).
Wie berechne ich \({\mathrm{P}(X \le x)}\)?
Mit der Verteilungsfunktion \({F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-(x/\lambda)^{k}}}\). Bei \({k = 2}\) und \({\lambda = 1000}\) Stunden ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil höchstens 500 Stunden hält, \({1 - \mathrm{e}^{-0{,}25} \approx 0{,}2212}\). Für „mindestens“ fällt die 1 weg: \({\mathrm{P}(X \ge x) = \mathrm{e}^{-(x/\lambda)^{k}}}\).
Warum gibt es zwei Schreibweisen der Weibull-Verteilung?
Manche Bücher schreiben \({F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-(x/\lambda)^{k}}}\) mit der Skala \({\lambda}\), andere \({F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-(\lambda x)^{k}}}\) mit dem Kehrwert der Skala. Auch die Namen der Parameter wechseln, etwa \({b}\) und \({T}\) oder \({\beta}\) und \({\eta}\). Excel (WEIBULL.VERT) und R rechnen mit der Skala. Im Rechner wählst du die Schreibweise deines Buchs.
Was ist die charakteristische Lebensdauer?
Die Skala \({\lambda}\). Bei \({x = \lambda}\) ist \({(x/\lambda)^{k} = 1}\) und damit \({F(\lambda) = 1 - 1/\mathrm{e} \approx 0{,}6321}\), unabhängig von der Form \({k}\). Bis zur charakteristischen Lebensdauer fallen also rund 63,2 % aller Bauteile aus.
Wie berechne ich Erwartungswert und Varianz?
Mit der Gammafunktion: \({\mathrm{E}(X) = \lambda \cdot \Gamma(1 + 1/k)}\) und \(\mathrm{Var}(X) = \lambda^{2} \cdot {[\Gamma(1 + 2/k) - \Gamma(1 + 1/k)^{2}]}\). Für \({k = 2}\) und \({\lambda = 1000}\) ist \({\Gamma(1{,}5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0{,}8862}\), also \({\mathrm{E}(X) \approx 886{,}2}\) Stunden und \({\sigma \approx 463{,}3}\) Stunden. Der Median ist \({\lambda \cdot (\ln 2)^{1/k} \approx 832{,}6}\) Stunden.