Lagrange-Rechner: Haushalts­optimum und Minimal­kosten­kombination berechnen.

Du verbindest die Zielfunktion mit der Nebenbedingung zur Lagrange-Funktion: Zielfunktion minus λ mal Nebenbedingung. Dann leitest du nach allen Variablen und nach λ ab und setzt die Ableitungen gleich null. Aus den ersten beiden Bedingungen folgt die Optimalitätsbedingung, im Haushalt etwa Grenzrate der Substitution gleich Preisverhältnis. Zusammen mit der Nebenbedingung löst du das Gleichungssystem nach den gesuchten Mengen auf.

λ zeigt, wie stark sich der optimale Wert ändert, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird. Im Haushalt ist λ der Grenznutzen des Einkommens: So viel Nutzen bringt ein Euro mehr Budget. Im Unternehmen sind es die Grenzkosten: So viel kostet eine zusätzliche Einheit Output.

Bei perfekten Substituten sind die Indifferenzkurven Geraden, bei perfekten Komplementen haben sie einen Knick. In beiden Fällen gibt es keinen Tangentialpunkt mit der Budgetgeraden, den das Lagrange-Verfahren sucht. Das Optimum ergibt sich direkt: bei Substituten durch den Vergleich von Nutzen und Preis, bei Komplementen aus dem festen Konsumverhältnis. Dasselbe gilt im Unternehmen für lineare und limitationale Produktionsfunktionen.

Häufig liegt es an der Rundung: Der Rechner rundet auf zwei Nachkommastellen. Prüf außerdem, ob du die Exponenten den richtigen Gütern zugeordnet hast und ob deine Aufgabe dieselbe Form der Funktion verwendet, zum Beispiel bei CES mit oder ohne Gewichtung. Wenn du den Fehler nicht findest, hilft das passende Tutorial zum Rechenweg.