Log-Normalverteilung: Wahrscheinlichkeiten und Quantile berechnen.
Trag die Parameter μ und σ von ln X ein oder Erwartungswert und Standardabweichung von X, wähle, was in deiner Aufgabe gesucht ist, und vergleiche mit deinem Rechenweg. Der Rechner logarithmiert und standardisiert für dich, zeigt den Weg über die Tabelle der Standardnormalverteilung und den genauen Wert, die Fläche unter der Dichtekurve, Quantile und Bereiche um den Median.
- Über ln x und Φ-Tabelle
- Quantile und Bereiche
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Häufige Fragen zur Log-Normalverteilung.
Wann ist eine Zufallsvariable lognormalverteilt?
Wenn ihr Logarithmus normalverteilt ist: \({X \sim \mathrm{LN}(\mu; \sigma^{2})}\) heißt \({\ln X \sim \mathrm{N}(\mu; \sigma^{2})}\). Das passt zu Größen, die nur positive Werte annehmen, nach rechts lang auslaufen und durch viele kleine, multiplikativ wirkende Einflüsse entstehen. Typisch sind Einkommen, Aktienkurse, Lebensdauern von Bauteilen, Reparaturzeiten und Partikelgrößen.
Wie berechne ich eine Wahrscheinlichkeit bei der Log-Normalverteilung?
Du logarithmierst und standardisierst: \({z = (\ln x - \mu)/\sigma}\). Dann ist \({\mathrm{P}(X \le x) = \Phi(z)}\), den Wert liest du in der Tabelle der Standardnormalverteilung ab. Bei \({\mu = 2}\) und \({\sigma = 0{,}5}\) ist \({z = (\ln 10 - 2)/0{,}5 \approx 0{,}61}\) und \({\mathrm{P}(X \le 10)} \approx {\Phi(0{,}61)} = 0{,}7291\). Mit dem ungerundeten \({z \approx 0{,}6052}\) ergibt sich 0,7275.
Was bedeuten \({\mu}\) und \({\sigma}\)?
Sie sind Erwartungswert und Standardabweichung von \({\ln X}\), nicht von \({X}\). Für \({X}\) selbst gilt \({\mathrm{E}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \sigma^{2}/2}}\) und \(\mathrm{Var}(X) = {(\mathrm{e}^{\sigma^{2}} - 1)} \cdot \mathrm{e}^{2\mu + \sigma^{2}}\). Der Median ist \({\mathrm{e}^{\mu}}\), der Modus \({\mathrm{e}^{\mu - \sigma^{2}}}\). Bei \({\mu = 2}\) und \({\sigma = 0{,}5}\) liegen Modus (5,75), Median (7,39) und Erwartungswert (8,37) deutlich auseinander. In der Schreibweise \({\mathrm{LN}(\mu; \sigma^{2})}\) steht an zweiter Stelle meist die Varianz.
Wie komme ich von Erwartungswert und Standardabweichung auf \({\mu}\) und \({\sigma}\)?
Mit \({\sigma^{2} = \ln\bigl(1 + \sigma_X^{2}/\mathrm{E}(X)^{2}\bigr)}\) und \({\mu = \ln \mathrm{E}(X) - \sigma^{2}/2}\), dabei ist \({\sigma_X}\) die Standardabweichung von \({X}\). Für \({\mathrm{E}(X) = 8}\) und \({\sigma_X = 4}\) ist \({\sigma^{2} = \ln 1{,}25 \approx 0{,}2231}\), also \({\sigma \approx 0{,}4724}\), und \({\mu \approx \ln 8 - 0{,}1116 \approx 1{,}9679}\). Im Rechner wählst du dafür „Erwartungswert und Standardabweichung von \({X}\)“.
In welchem Bereich liegen 95 % der Werte?
Quantile übertragen sich über die e-Funktion: Das \({q}\)-Quantil von \({X}\) ist \({\mathrm{e}^{\mu + z_q \sigma}}\) mit \({\Phi(z_q) = q}\). In \({[\mathrm{e}^{\mu - 1{,}96\sigma}; \mathrm{e}^{\mu + 1{,}96\sigma}]}\) liegen deshalb 95 % der Werte, bei \({\mu = 2}\) und \({\sigma = 0{,}5}\) also etwa in \({[2{,}77; 19{,}69]}\). Der Bereich liegt nicht symmetrisch um den Erwartungswert, sondern in Faktoren um den Median \({\mathrm{e}^{\mu}}\): Die Grenzen sind der Median geteilt durch \({\mathrm{e}^{1{,}96\sigma}}\) und mal \({\mathrm{e}^{1{,}96\sigma}}\). Im Rechner wählst du dafür „zweiseitig“.