Cohens d für abhängige Gruppen: Effektstärke berechnen und einordnen.

Trag deine Kennwerte oder Rohdaten ein und wähl die passende Variante. Der Rechner zeigt dir Cohens d als rein deskriptives Maß, für d₁ mit Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall, dazu den Rechenweg und eine Abbildung.

Vier Varianten im Vergleich
Mit Rechenweg und Abbildung
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Berechnungsgrundlage.

Cohens d ist ein statistisches Maß, das genutzt wird, um die Effektgröße, also die Stärke eines Unterschieds zwischen den Mittelwerten zweier (un-)abhängiger Gruppen oder eines Mittelwerts und eines theoretisch erwarteten Werts, zu quantifizieren. In der Forschung hilft Cohens d dabei, die praktische Bedeutung eines Effekts zu beurteilen, unabhängig von der Größe der Stichprobe. Dies ermöglicht es, die Wirksamkeit von Interventionen zu vergleichen und die Relevanz der Forschungsergebnisse einzuschätzen.

Die Berechnung wird auf Basis von Mittelwerten (M), Standardabweichung (SD) und Gruppengrößen (n) realisiert. Die nachfolgende Berechnung führt zu d als rein deskriptives Maß, manchmal auch als Populationsmaß bezeichnet. Für eine Berechnung zu einer Stichprobe (und somit als Schätzer) führt Cohen d_s an, was jedoch nichts anderes als Hedges’ g ist. Dieses Maß kannst du über folgenden Rechner bestimmen: Hedges’ g für zwei abhängige Gruppen.

Die Berechnungen orientieren sich an den Vorlagen von Cohen (1962), Glass et al. (1981), Becker (1988), Borenstein (2009), Cumming (2012) und Borenstein et al. (2021). Daraus ergeben sich vier verschiedene Möglichkeiten, d zu berechnen.

Cohens \({d}\)

Borenstein (2009)

\[ d_{1} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{pooled}}} = \frac{M_{\text{Post}} - M_{\text{Pre}}}{S_{\text{pooled}}} \]

Cumming (2012)

\[ d_{2} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{av}}} \]

Cohen (1988)

\[ d_{3} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{Diff}}} \]

Glass et al. (1981)

\[ d_{4} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{Pre}}} \]

Standardabweichungen

Alle Standardabweichungen sind hier deskriptiv gemeint, also mit \({n}\) im Nenner.

Standardabweichung der Differenzen

\[ S_{\text{Diff}} = \sqrt{S_{\text{Pre}}^{2} + S_{\text{Post}}^{2} - 2 \cdot r \cdot S_{\text{Pre}} \cdot S_{\text{Post}}} \]

Gepoolte Standardabweichung

\[ S_{\text{pooled}} = \frac{S_{\text{Diff}}}{\sqrt{2 \cdot (1 - r)}} \]

Gemittelte Standardabweichung

\[ S_{\text{av}} = \sqrt{\frac{S_{\text{Pre}}^{2} + S_{\text{Post}}^{2}}{2}} \]

Warum \({d_{3}}\) von \({r}\) abhängt

Je ähnlicher sich die beiden Messungen sind, desto weniger streuen die Differenzen. Der Nenner von \({d_{3}}\) schrumpft, obwohl sich der Mittelwert genauso stark verändert. Bei gleichen SDs gilt:

\[ d_{3} = \frac{d_{2}}{\sqrt{2 \cdot (1 - r)}} \]

Gleicher Mittelwertsunterschied, andere Zahl. Hier ist die Differenz immer eine halbe SD. Bei \({r = 0{,}5}\) sind beide Maße gleich, bei \({r = 0{,}9}\) liegt \({d_{3}}\) schon bei 1,12.

Standardfehler und Konfidenzintervall

Beide gibt es nur für \({d_{1}}\). Dafür brauchst du \({n}\) und \({r}\). Der Standardfehler folgt der Form von Becker (1988) und weicht damit von der bei Borenstein (2009) abgedruckten Formel ab: Dort wird auch der zweite Summand mit \({2 \cdot (1 - r)}\) multipliziert.

\[ SE_{d} = \sqrt{\frac{2 \cdot (1 - r)}{n} + \frac{d^{2}}{2 \cdot n}} \]

Das 95-%-Konfidenzintervall läuft über die \({t}\)-Verteilung:

\[ d \pm t_{0{,}975;\,df} \cdot SE_{d} \qquad df = n - 1 \]

Der \({t}\)-Wert wird aus der inversen \({t}\)-Verteilung bestimmt und berücksichtigt die Stichprobengröße. Bei kleinen Stichproben ist \({t_{0{,}975;\,df} \gt 1{,}96}\), was zu korrekterweise breiteren Konfidenzintervallen führt.

Interpretation

Konvention zur Interpretation von \({d}\) nach Cohen (1992):

Betrag von \({d}\)	Einordnung
\({\|d\| \lt 0{,}20}\)	kein Effekt
\({0{,}20 \le \|d\| \lt 0{,}50}\)	kleiner Effekt
\({0{,}50 \le \|d\| \lt 0{,}80}\)	moderater Effekt
\({\|d\| \ge 0{,}80}\)	großer Effekt

Mehr dazu findest du in der Interpretationshilfe.

Hedges’ \({g}\)

Hedges (1981) hat eine Korrektur (Hedges’ \({g}\)) vorgeschlagen, die auf der Besselkorrektur basiert. Sie kann über folgenden Rechner genutzt werden: Hedges’ g für zwei abhängige Gruppen.

Literatur

Becker, B. J. (1988). Synthesizing standardized mean-change measures. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 41(2), 257–278. https://doi.org/10.1111/j.2044-8317.1988.tb00901.x
Borenstein (2009). Effect sizes for continuous data. In H. Cooper, L. V. Hedges, & J. C. Valentine (Eds.), The handbook of research synthesis and meta analysis (pp. 221-237). New York: Russell Sage Foundation.
Borenstein, M., Hedges, L. V., Higgins, J. P. T. & Rothstein, H. R. (2021). Introduction to Meta-Analysis. John Wiley & Sons.
Cohen, J. (1962). The statistical power of abnormal-social psychological research: A review. The Journal of Abnormal and Social Psychology, 65(3), 145–153. https://doi.org/10.1037/h0045186
Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112(1), 155–159. https://doi.org/10.1037/0033-2909.112.1.155
Cumming, G. (2012). Understanding the new statistics: Effect sizes, confidence intervals, and meta-analysis. Routledge/Taylor & Francis Group.
Glass, G. V., McGaw, B., and Smith, M. L. (1981). Meta-Analysis in Social Research. Beverly Hills, CA: Sage.
Hedges, L. V. (1981). Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128. https://doi.org/10.2307/1164588

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Häufige Fragen zu Cohens d bei abhängigen Gruppen.

Welche Standardabweichung trage ich ein?

Cohens \({d}\) ist hier ein rein deskriptives Maß. Trag deshalb die SD mit \({n}\) im Nenner ein. Mit Rohdaten rechnet der Rechner die SDs selbst so.

Worin unterscheiden sich die vier Varianten?

Alle teilen dieselbe mittlere Differenz, nur der Nenner wechselt. \({d_{1}}\) nutzt die gepoolte SD aus \({S_{\text{Diff}}}\) und \({r}\), \({d_{2}}\) die gemittelte SD von Pre und Post, \({d_{3}}\) die SD der Differenzen und \({d_{4}}\) die SD der Pre-Messung.

Warum ist \({d_{3}}\) oft größer als \({d_{2}}\)?

Weil die Differenzen bei hoher Korrelation weniger streuen als die Messwerte selbst. Bei gleichen SDs gilt \({d_{3} = d_{2} / \sqrt{2 \cdot (1 - r)}}\). Für \({r = 0{,}5}\) sind beide gleich, für \({r = 0{,}8}\) ist \({d_{3}}\) rund 1,6-mal so groß.

Wann zeigt der Rechner Standardfehler und Intervall?

Nur für \({d_{1}}\). Dafür brauchst du \({n}\) und \({r}\). Bei den anderen Varianten steht „nicht möglich“.

Was ist der Unterschied zu Hedges’ \({g}\)?

Cohens \({d}\) ist rein deskriptiv. Hedges’ \({g}\) nutzt die Besselkorrektur, \({g^{*}}\) korrigiert zusätzlich für kleine Stichproben. Dafür gibt es einen eigenen Rechner für abhängige Gruppen.

Wie berichte ich das Ergebnis?

Nenne Kennwerte, Variante und, falls vorhanden, das Intervall. Zum Beispiel: Der Mittelwert lag bei Post (\({M = 68{,}50}\); \({SD = 11{,}70}\)) über dem Wert bei Pre (\({M = 61{,}20}\); \({SD = 12{,}40}\)), \({d = 0{,}60}\) (Borenstein, 2009), 95-%-KI [0,28; 0,93]. Der Rechner erstellt dir diesen Satz mit deinen Werten.