Chi-Quadrat-Verteilung: Quantile und Wahrscheinlich­keiten berechnen.

Vor allem bei χ²-Tests: beim Anpassungstest (passen beobachtete Häufigkeiten zu einer angenommenen Verteilung?), beim Unabhängigkeitstest in einer Kontingenztafel und beim Homogenitätstest. Außerdem bei einer Varianz: Stammen die Daten aus einer Normalverteilung, ist \({(n - 1)s^{2}/\sigma^{2}}\) chi-quadrat-verteilt mit \({\nu = n - 1}\) Freiheitsgraden. Damit bekommst du Konfidenzintervalle und Tests für \({\sigma^{2}}\). Allgemein ist die Summe von \({\nu}\) quadrierten, unabhängigen, standardnormalverteilten Größen chi-quadrat-verteilt.

Die Zeile gibt die Freiheitsgrade \({\nu}\) an, die Spalte die Wahrscheinlichkeit \({q = \mathrm{P}(X \le x)}\). In der Zeile \({\nu = 5}\) und der Spalte 0,95 steht 11,070, also \({\chi^{2}_{5; 0{,}95} \approx 11{,}070}\). Weil die Verteilung nicht symmetrisch ist, stehen beide Ränder in der Tabelle: links die Quantile für kleine \({q}\), rechts die für große. Manche Bücher beschriften die Spalten mit der Fläche rechts davon, \({\alpha = 1 - q}\). Die Spalte \({\alpha = 0{,}05}\) ist dann dieselbe wie \({q = 0{,}95}\).

Beim Anpassungstest mit \({k}\) Klassen ist \({\nu = k - 1}\). Schätzt du Parameter der Verteilung aus den Daten, ziehst du je Parameter noch 1 ab. Beim Unabhängigkeits- und Homogenitätstest mit einer Tafel aus \({r}\) Zeilen und \({c}\) Spalten ist \({\nu = (r - 1)(c - 1)}\), bei einer \({3 \times 4}\)-Tafel also \({\nu = 6}\). Für eine Varianz aus einer Stichprobe vom Umfang \({n}\) ist \({\nu = n - 1}\).

Der kritische Wert zum Niveau \({\alpha}\) ist das Quantil \({\chi^{2}_{\nu; 1 - \alpha}}\). Für \({\alpha = 0{,}05}\) und \({\nu = 6}\) ist das \({\chi^{2}_{6; 0{,}95} \approx 12{,}592}\). Ist die Prüfgröße größer, verwirfst du die Nullhypothese. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens die beobachtete Prüfgröße zu erhalten: Bei einer Prüfgröße von 14,2 und \({\nu = 6}\) ist \({\mathrm{P}(X \ge 14{,}2) \approx 0{,}0275}\), also kleiner als 0,05. Im Rechner wählst du dafür „mindestens“.

Mit den beiden Quantilen \({c_1 = \chi^{2}_{n - 1; \alpha/2}}\) und \({c_2 = \chi^{2}_{n - 1; 1 - \alpha/2}}\) ist das Intervall \(\left[\frac{(n - 1)s^{2}}{c_2}; \frac{(n - 1)s^{2}}{c_1}\right]\). Das größere Quantil gehört zur unteren Grenze. Für \({n = 10}\), \({s^{2} = 4}\) und 95 % ist \({c_1 \approx 2{,}700}\) und \({c_2 \approx 19{,}023}\), das Intervall also etwa \([36/19{,}023; 36/2{,}700] \approx [1{,}89; 13{,}33]\). Im Rechner wählst du „zweiseitig“ mit \({q = 0{,}95}\).

\({\mathrm{E}(X) = \nu}\) und \({\mathrm{Var}(X) = 2\nu}\), also \({\sigma = \sqrt{2\nu}}\). Für \({\nu = 5}\) ist \({\mathrm{E}(X) = 5}\) und \({\mathrm{Var}(X) = 10}\). Die Verteilung ist rechtsschief; mit wachsendem \({\nu}\) wird sie symmetrischer und nähert sich der Normalverteilung mit \({\mu = \nu}\) und \({\sigma = \sqrt{2\nu}}\). Für \({\nu = 2}\) ist sie die Exponentialverteilung mit \({\lambda = 0{,}5}\).