Bernoulli-Verteilung: Wahrscheinlich­keit, Erwartungswert und Varianz.

Sie beschreibt ein einzelnes Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen. X = 1 steht für Erfolg und tritt mit der Wahrscheinlichkeit p ein, X = 0 für Misserfolg mit 1 − p. Man schreibt X ~ Ber(p). Was als Erfolg zählt, legt die Aufgabe fest, zum Beispiel „Kopf“ beim Münzwurf oder „defekt“ bei einem Bauteil.

E(X) = p und Var(X) = p · (1 − p). Die Varianz ist bei p = 0,5 am größten, nämlich 0,25, und wird kleiner, je näher p an 0 oder 1 liegt. Die Standardabweichung ist √(p · (1 − p)).

Die Bernoulli-Verteilung ist die Binomialverteilung mit n = 1. Wiederholst du ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig mit gleichem p, ist die Anzahl der Erfolge binomialverteilt: X₁ + … + Xₙ ~ B(n; p). Deshalb gilt dort E(X) = n · p und Var(X) = n · p · (1 − p).

So heißt eine Folge von n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p. Fragst du nach der Anzahl der Erfolge, hilft die Binomialverteilung. Fragst du, wie lange es bis zum ersten Erfolg dauert, hilft die geometrische Verteilung.