Geometrische Verteilung: Warten auf den ersten Erfolg.

Wenn du ein Zufallsexperiment mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit p so lange unabhängig wiederholst, bis der erste Erfolg eintritt, und X die Wartezeit darauf beschreibt. Typisch sind Würfeln bis zur ersten Sechs, Bewerbungen bis zur ersten Zusage oder geprüfte Teile bis zum ersten defekten.

Zählt X die Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg, nimmt X die Werte 1, 2, 3, … an: P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p und E(X) = 1/p. Zählt X nur die Misserfolge davor, beginnt X bei 0: P(X = k) = (1 − p)^k · p und E(X) = (1 − p)/p. Die Varianz ist in beiden Fällen (1 − p)/p². Welche Variante gemeint ist, erkennst du an der Formulierung der Aufgabe oder am kleinsten möglichen Wert in deiner Vorlesung.

Über das Gegenereignis: Bei der Variante ab 1 heißt X > k, dass die ersten k Versuche alle Misserfolge sind. Also gilt P(X > k) = (1 − p)^k und P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k. Die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Würfen eine Sechs zu bekommen, ist 1 − (5/6)³ ≈ 0,4213.

Gesucht ist das kleinste k mit 1 − (1 − p)^k ≥ q. Umgeformt heißt das k ≥ ln(1 − q) / ln(1 − p). Damit beim Würfeln mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit eine Sechs dabei ist, brauchst du k ≥ ln(0,05) / ln(5/6) ≈ 16,43, also mindestens 17 Würfe. Diese Rechnung zeigt dir der Rechner unter „k gesucht“.