Cohens d für unabhängige Gruppen: Effektstärke berechnen und einordnen.

Du vergleichst zwei getrennte Gruppen? Trag Mittelwerte, SDs und Gruppengrößen oder deine Rohdaten ein. Der Rechner zeigt dir Cohens d als rein deskriptives Maß, für d₁ mit Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall, dazu den Rechenweg und eine Abbildung.

Drei Varianten im Vergleich
Mit Rechenweg und Abbildung
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Berechnungsgrundlage.

Cohens d ist ein statistisches Maß, das genutzt wird, um die Effektgröße, also die Stärke eines Unterschieds zwischen den Mittelwerten zweier (un-)abhängiger Gruppen oder eines Mittelwerts und eines theoretisch erwarteten Werts, zu quantifizieren. In der Forschung hilft Cohens d dabei, die praktische Bedeutung eines Effekts zu beurteilen, unabhängig von der Größe der Stichprobe. Dies ermöglicht es, die Wirksamkeit von Interventionen zu vergleichen und die Relevanz der Forschungsergebnisse einzuschätzen.

Die Berechnung wird auf Basis von Mittelwerten (M), Standardabweichung (SD) und Gruppengrößen (n) realisiert. Die nachfolgende Berechnung führt zu d als rein deskriptives Maß, manchmal auch Populationsmaß bezeichnet. Für eine Berechnung zu einer Stichprobe (und somit als Schätzer) führt Cohen d_s an, was jedoch nichts anderes als Hedges’ g ist.

Die Berechnungen orientieren sich an den Vorlagen von Cohen (1962), Glass et al. (1981), Borenstein (2009), Cumming (2012) und Borenstein et al. (2021). Daraus ergeben sich drei verschiedene Möglichkeiten, d zu berechnen.

Cohens \({d}\)

Cohen (1988), gleiche Varianzen: \({\sigma_{1} = \sigma_{2} (= \sigma)}\)

\[ d_{1} = \frac{M_{1} - M_{2}}{S_{\text{pooled}}} \]

Cohen (1988), ungleiche Varianzen: \({\sigma_{1} \neq \sigma_{2}}\)

\[ d_{2} = \frac{M_{1} - M_{2}}{S_{\text{av}}} \]

Glass et al. (1981), SD der Kontrollgruppe (C)

\[ d_{3} = \frac{M_{1} - M_{2}}{S_{\text{C}}} \]

Standardabweichungen

Alle Standardabweichungen sind hier deskriptiv gemeint, also mit \({n}\) im Nenner.

Gepoolte Standardabweichung

\[ S_{\text{pooled}} = \sqrt{\frac{n_{1} \cdot S_{1}^{2} + n_{2} \cdot S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}}} \]

Mittlere Standardabweichung

\[ S_{\text{av}} = \sqrt{\frac{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}{2}} \]

Warum die Gruppengröße \({d_{1}}\) verändern kann

In \({S_{\text{pooled}}}\) zählt die größere Gruppe stärker. Sind beide SDs gleich, spielt das keine Rolle. Unterscheiden sie sich, hängt \({d_{1}}\) davon ab, wie sich die Personen auf die Gruppen verteilen. \({d_{2}}\) bleibt davon unberührt.

Gleiche Mittelwerte und SDs, andere Aufteilung. Hier ist die Mittelwertsdifferenz immer 1, die SDs sind 2 und 1. Liegen 25 % der Personen in der streuungsstärkeren Gruppe, ist \({d_{1} = 0{,}76}\), bei 75 % nur noch \({0{,}55}\). \({d_{2}}\) bleibt bei \({0{,}63}\).

Standardfehler und Konfidenzintervall

Beide gibt es nur für \({d_{1}}\).

\[ SE_{d} = \sqrt{\frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1} \cdot n_{2}} + \frac{d^{2}}{2 \cdot (n_{1} + n_{2})}} \]

Das 95-%-Konfidenzintervall läuft über die \({t}\)-Verteilung:

\[ d \pm t_{0{,}975;\,df} \cdot SE_{d} \qquad df = n_{1} + n_{2} - 2 \]

Der \({t}\)-Wert wird aus der inversen \({t}\)-Verteilung bestimmt und berücksichtigt die Stichprobengröße. Bei kleinen Stichproben ist \({t_{0{,}975;\,df} \gt 1{,}96}\), was zu korrekterweise breiteren Konfidenzintervallen führt.

Interpretation

Konvention zur Interpretation von \({d}\) nach Cohen (1992):

Betrag von \({d}\)	Einordnung
\({\|d\| \lt 0{,}20}\)	kein Effekt
\({0{,}20 \le \|d\| \lt 0{,}50}\)	kleiner Effekt
\({0{,}50 \le \|d\| \lt 0{,}80}\)	moderater Effekt
\({\|d\| \ge 0{,}80}\)	großer Effekt

Mehr dazu findest du in der Interpretationshilfe.

Hedges’ \({g}\)

Hedges (1981) hat eine Korrektur (Hedges’ \({g}\)) vorgeschlagen, die auf der Besselkorrektur basiert. Sie kann über folgenden Rechner genutzt werden: Hedges’ g für zwei unabhängige Gruppen.

Literatur

Borenstein (2009). Effect sizes for continuous data. In H. Cooper, L. V. Hedges, & J. C. Valentine (Eds.), The handbook of research synthesis and meta analysis (pp. 221-237). New York: Russell Sage Foundation.
Borenstein, M., Hedges, L. V., Higgins, J. P. T. & Rothstein, H. R. (2021). Introduction to Meta-Analysis. John Wiley & Sons.
Cohen, J. (1962). The statistical power of abnormal-social psychological research: A review. The Journal of Abnormal and Social Psychology, 65(3), 145–153. https://doi.org/10.1037/h0045186
Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112(1), 155–159. https://doi.org/10.1037/0033-2909.112.1.155
Cumming, G. (2012). Understanding the new statistics: Effect sizes, confidence intervals, and meta-analysis. Routledge/Taylor & Francis Group.
Glass, G. V., McGaw, B., and Smith, M. L. (1981). Meta-Analysis in Social Research. Beverly Hills, CA: Sage.
Hedges, L. V. (1981). Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128. https://doi.org/10.2307/1164588

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Häufige Fragen zu Cohens d bei unabhängigen Gruppen.

Welche Standardabweichung trage ich ein?

Cohens \({d}\) ist hier ein rein deskriptives Maß. Trag deshalb die SD mit \({n}\) im Nenner ein. Mit Rohdaten rechnet der Rechner die SDs selbst so.

Worin unterscheiden sich die drei Varianten?

Die beiden Versionen nach Cohen (1988) unterscheiden sich in der Annahme zu den Varianzen: \({d_{1}}\) geht von gleichen Varianzen aus und nutzt die gepoolte SD, \({d_{2}}\) lässt ungleiche Varianzen zu und nutzt die mittlere SD. \({d_{3}}\) nach Glass et al. (1981) teilt durch die SD der Kontrollgruppe.

Wann zeigt der Rechner Standardfehler und Intervall?

Nur für \({d_{1}}\). Bei den anderen Varianten steht „nicht möglich“.

Was ist der Unterschied zu Hedges’ \({g}\)?

Cohens \({d}\) ist rein deskriptiv. Hedges’ \({g}\) nutzt die Besselkorrektur, \({g^{*}}\) korrigiert zusätzlich für kleine Stichproben. Dafür gibt es einen eigenen Rechner für unabhängige Gruppen.

Wie berichte ich das Ergebnis?

Nenne Kennwerte, Variante und, falls vorhanden, das Intervall. Zum Beispiel: Gruppe 1 (\({M = 68{,}50}\); \({SD = 11{,}70}\); \({n = 32}\)) lag über Gruppe 2 (\({M = 61{,}20}\); \({SD = 12{,}40}\); \({n = 28}\)), \({d = 0{,}61}\) (Cohen, 1988; gleiche Varianzen), 95-%-KI [0,08; 1,14]. Der Rechner erstellt dir diesen Satz mit deinen Werten.