Exponential­verteilung: Wartezeiten und Lebens­dauern berechnen.

Wenn sie die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis beschreibt und die Ereignisse unabhängig voneinander mit gleichbleibender Rate λ eintreten. Typisch sind die Zeit bis zum nächsten Anruf oder bis zum nächsten Kunden und die Lebensdauer eines Bauteils, das nicht altert. Zählt man die Ereignisse in einem festen Zeitraum, ist diese Anzahl Poisson-verteilt.

Mit der Verteilungsfunktion F(x) = 1 − e^(−λx). Bei λ = 0,5 pro Stunde ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 3 Stunden zu warten, 1 − e^(−1,5) ≈ 0,7769. Für „mindestens“ gilt P(X ≥ x) = e^(−λx), hier e^(−1,5) ≈ 0,2231.

λ ist die Rate, also die mittlere Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit. Der Erwartungswert E(X) = 1/λ ist die mittlere Wartezeit. Kommen im Schnitt 0,5 Kunden pro Minute, wartest du im Mittel 2 Minuten. Die Varianz ist 1/λ², die Standardabweichung ist also so groß wie der Erwartungswert.

Die Exponentialverteilung berücksichtigt nicht, wie lange schon gewartet wurde: P(X ≥ s + t | X ≥ s) = P(X ≥ t). Hat ein Bauteil schon 5 Jahre gehalten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es weitere 2 Jahre hält, genauso groß wie bei einem neuen Bauteil. Deshalb passt das Modell nur für Vorgänge ohne Alterung oder Verschleiß.