F-Verteilung: Quantile und Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Trag die Freiheitsgrade ν1 und ν2 ein, wähle, was in deiner Aufgabe gesucht ist, und vergleiche mit deinem Rechenweg. Der Rechner liefert kritische Werte für den F-Test, Quantile auch für kleine Wahrscheinlichkeiten über den Kehrwert, Wahrscheinlichkeiten als Fläche unter der Dichtekurve und die F-Tabellen mit markierten Werten.
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Jan Oetker
Studienverlauf
- B.Sc.WirtschaftspsychologieHochschule Fresenius
- M.Sc.WirtschaftsinformatikFernUniversität in Hagen
Lehrerfahrung
- AStATutor seit 2016Hochschule Fresenius, Köln und weitere Standorte
- LehreDozentHochschule Fresenius
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Team tutoring ist ein unabhängiges Angebot und kein offizielles Angebot der Hochschule Fresenius.
Häufige Fragen zur F-Verteilung.
Wann brauche ich die F-Verteilung?
Vor allem beim Vergleich zweier Varianzen: Stammen zwei unabhängige Stichproben aus Normalverteilungen mit gleicher Varianz, ist \(F = s_1^{2}/s_2^{2}\) F-verteilt mit \(\nu_1 = n_1 - 1\) Freiheitsgraden im Zähler und \(\nu_2 = n_2 - 1\) im Nenner. Außerdem brauchst du sie in der Varianzanalyse und beim F-Test der Regression. Allgemein ist der Quotient zweier unabhängiger Chi-Quadrat-Größen, jeweils durch ihre Freiheitsgrade geteilt, F-verteilt.
Wie lese ich eine F-Tabelle?
Für jede Wahrscheinlichkeit \(q\) gibt es eine eigene Tabelle, meist für 0,9, 0,95, 0,975 und 0,99. Die Spalte gibt die Freiheitsgrade \(\nu_1\) im Zähler an, die Zeile \(\nu_2\) im Nenner. In der Tabelle für \(q = 0{,}95\) steht bei \(\nu_1 = 5\) und \(\nu_2 = 10\) der Wert 3,33, also \(F_{5; 10; 0{,}95} \approx 3{,}33\). Die Reihenfolge zählt: \(F_{10; 5; 0{,}95} \approx 4{,}74\).
Wie bekomme ich Quantile für kleine q, etwa 0,05?
Mit dem Kehrwert bei vertauschten Freiheitsgraden: \(F_{\nu_1; \nu_2; q} = \frac{1}{F_{\nu_2; \nu_1; 1 - q}}\). Für \(\nu_1 = 5\), \(\nu_2 = 10\) und \(q = 0{,}05\) schlägst du \(F_{10; 5; 0{,}95} \approx 4{,}74\) nach und rechnest \(1/4{,}74 \approx 0{,}211\). Das gilt, weil \(1/X\) wieder F-verteilt ist, mit vertauschten Freiheitsgraden.
Welche kritischen Werte brauche ich für den zweiseitigen F-Test?
Bei \(\alpha = 0{,}05\) die untere Grenze \(c_1 = F_{\nu_1; \nu_2; 0{,}025}\) und die obere \(c_2 = F_{\nu_1; \nu_2; 0{,}975}\). Für \(\nu_1 = 5\) und \(\nu_2 = 10\) ist \(c_2 \approx 4{,}24\) und \(c_1 = 1/F_{10; 5; 0{,}975} \approx 1/6{,}62 \approx 0{,}151\). Liegt \(s_1^{2}/s_2^{2}\) außerhalb von \([c_1; c_2]\), verwirfst du die Hypothese gleicher Varianzen. Im Rechner wählst du „zweiseitig“ mit \(q = 0{,}95\).
Wie groß sind Erwartungswert und Varianz?
\(\mathrm{E}(X) = \frac{\nu_2}{\nu_2 - 2}\) für \(\nu_2 \gt 2\). Er hängt nur vom Nenner ab und liegt etwas über 1. Die Varianz ist \(\mathrm{Var}(X) = \frac{2\nu_2^{2}(\nu_1 + \nu_2 - 2)}{\nu_1(\nu_2 - 2)^{2}(\nu_2 - 4)}\) für \(\nu_2 \gt 4\). Für \(\nu_1 = 5\) und \(\nu_2 = 10\) ist \(\mathrm{E}(X) = 1{,}25\) und \(\mathrm{Var}(X) \approx 1{,}354\). Mit vielen Freiheitsgraden liegt die Verteilung eng um 1.