t-Verteilung: Quantile und Wahrscheinlich­keiten berechnen.

Bei Konfidenzintervallen und Tests für einen Mittelwert, wenn die Standardabweichung \(\sigma\) der Grundgesamtheit unbekannt ist und durch die Stichprobenstandardabweichung \(s\) geschätzt wird. Sind die Daten normalverteilt, ist dann \(T = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}\) t-verteilt mit \(\nu = n - 1\) Freiheitsgraden. Ist \(\sigma\) bekannt, nimmst du die Standardnormalverteilung.

Die Zeile gibt die Freiheitsgrade \(\nu\) an, die Spalte die Wahrscheinlichkeit \(q = \mathrm{P}(T \le t)\). Im Feld steht das Quantil \(t_{\nu; q}\). Für \(\nu = 10\) und \(q = 0{,}975\) steht dort 2,228. Für \(q \lt 0{,}5\) nutzt du die Symmetrie: \(t_{\nu; q} = -t_{\nu; 1 - q}\).

Für ein zweiseitiges Intervall mit dem Niveau \(1 - \alpha = 0{,}95\) brauchst du \(t_{n - 1; 1 - \alpha/2} = t_{n - 1; 0{,}975}\). Das Intervall ist \(\bar{x} \pm t_{n - 1; 0{,}975} \cdot s/\sqrt{n}\). Bei \(n = 11\) Werten ist \(\nu = 10\) und \(t_{10; 0{,}975} \approx 2{,}228\). Im Rechner wählst du dafür „Intervall um 0“ mit \(q = 0{,}95\).

Üblich ist die nächstkleinere Zeile. Sie gibt einen etwas größeren kritischen Wert, das Ergebnis liegt also auf der sicheren Seite. Für sehr viele Freiheitsgrade nimmst du die Zeile \(\infty\), das sind die Quantile der Standardnormalverteilung, etwa 1,960 für \(q = 0{,}975\). Der Rechner zeigt dir zusätzlich den genauen Wert.

Beide sind symmetrisch um 0, die t-Verteilung hat aber breitere Ränder: Extreme Werte sind wahrscheinlicher, die Quantile sind größer. Mit wachsenden Freiheitsgraden nähert sie sich der Standardnormalverteilung. Für \(\nu = 10\) ist \(t_{10; 0{,}975} \approx 2{,}228\), bei der Standardnormalverteilung sind es 1,960. Die Varianz ist \(\nu/(\nu - 2)\) für \(\nu \gt 2\), also größer als 1.