Hyper­geometrische Verteilung: Ziehen ohne Zurück­legen berechnen.

Wenn du aus einer Grundgesamtheit mit N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben, n Elemente ohne Zurücklegen ziehst und X die gezogenen Elemente mit dieser Eigenschaft zählt. Weil nichts zurückgelegt wird, ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Zug zu Zug. Typisch sind Lotto, Stichproben aus einer Lieferung und Kartenspiele.

P(X = k) = (M über k) · (N − M über n − k) / (N über n). Im Zähler steht die Zahl der Möglichkeiten, k Erfolge aus M und n − k Misserfolge aus N − M auszuwählen, im Nenner die Zahl aller Stichproben vom Umfang n. Beim Lotto 6 aus 49 ist P(genau 3 Richtige) = 20 · 12.341 / 13.983.816 ≈ 0,0177.

Die Binomialverteilung gilt für Ziehen mit Zurücklegen, die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt dort gleich. Bei der hypergeometrischen Verteilung wird ohne Zurücklegen gezogen. Der Erwartungswert ist in beiden Fällen n · M/N, die Varianz ist hypergeometrisch aber um den Faktor (N − n)/(N − 1) kleiner. Ist der Auswahlsatz n/N klein, nach einer verbreiteten Faustregel höchstens 0,05, kannst du mit der Binomialverteilung B(n; M/N) annähern.

Wenn es weniger Misserfolge gibt, als du ziehst, landen zwangsläufig Erfolge in der Stichprobe. Mögliche Werte liegen deshalb zwischen max(0; n − (N − M)) und min(n; M). Ziehst du zum Beispiel 10 aus 20 Elementen mit 15 Erfolgen, sind mindestens 5 Erfolge dabei. Der Rechner weist im Rechenweg darauf hin.