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Kardinale & Ordinale Nutzentheorie

#01 Nutzentheorie

Die Nutzentheorie befasst sich mit der Analyse von Entscheidungen, die Individuen treffen, um ihre Bedürfnisse zu befriedigen. Sie hilft dabei, das Verhalten von Konsumenten zu verstehen, indem sie untersucht, wie Menschen Präferenzen für verschiedene Güter und Dienstleistungen entwickeln. Diese Theorie bietet ein Modell zur Erklärung, wie Konsumenten Entscheidungen basierend auf ihrem Nutzen treffen, also dem subjektiven Wert oder der Zufriedenheit, die sie aus dem Konsum bestimmter Güter oder Dienstleistungen ziehen (Mankiw & Taylor, 2024).

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#02 Kardinale Nutzentheorie

Die kardinale Nutzentheorie betrachtet den Nutzen als messbare Größe, die in Zahlen quantifiziert werden kann. In diesem Ansatz wird angenommen, dass Konsumenten den Nutzen, den sie aus dem Konsum eines Gutes ziehen, in absoluten Einheiten ausdrücken können. Ein Beispiel für die Anwendung kardinaler Zahlen, ohne Bezug zur Nutzentheorie, findet sich in der Unternehmenstheorie, wo Unternehmen analysieren, wie viel zusätzliche Produktion durch die Einstellung eines weiteren Arbeiters erzielt werden kann. Hier sind präzise numerische Werte für die produzierte Menge entscheidend, um wirtschaftliche Entscheidungen zu optimieren und Ressourcen effizient zu nutzen (Mankiw & Taylor, 2024). Um dennoch kardinale Zahlen im Kontext der Haushaltstheorie zu betrachten, zeigt die folgende Tabelle die Anwendung an einem Beispiel:

Kardinale Nutzentheorie	Beispiel
Wie viel besser ist ein Gut?	Döner hat den doppelten Wert von Pizza.

Kardinale Nutzentheorie	Beispiel
Wie viel besser ist ein Gut?	Döner hat den doppelten Wert von Pizza.

#03 Ordinale Nutzentheorie

Die ordinale Nutzentheorie hingegen konzentriert sich darauf, wie Konsumenten ihre Präferenzen ordnen, ohne den Nutzen in genauen Zahlen auszudrücken. In der Haushaltstheorie spielt dieser Ansatz eine wichtige Rolle, da er sich auf die Rangordnung von Güterbündeln konzentriert. Konsumenten wählen das Güterbündel, das ihnen die höchste Zufriedenheit bietet, basierend auf ihrer subjektiven Präferenzordnung (Mankiw & Taylor, 2024). Die genauen Werte sind hierbei nicht relevant, solange die Reihenfolge der Präferenzen klar ist. Die folgende Tabelle zeigt die Anwendung an einem Beispiel:

Ordinale Nutzentheorie	Beispiel
Ist ein Gut besser?	Döner ist besser als Pizza.

Ordinale Nutzentheorie	Beispiel
Ist ein Gut besser?	Döner ist besser als Pizza.

#04 Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion

Mathematsiche Darstellung

Während die kardinale Nutzentheorie versucht, den Nutzen in numerischen Werten auszudrücken, fokussiert sich die ordinale Nutzentheorie darauf, wie Konsumenten ihre Präferenzen ordnen können. Diese Theorie ist besonders nützlich, um das Verhalten von Konsumenten in der Realität zu verstehen, da sie die Reihenfolge von Präferenzen ohne genaue Zahlenwerte betrachtet. Ein klassisches Beispiel für die Anwendung der ordinalen Nutzentheorie ist die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion, die in der mikroökonomischen Analyse weit verbreitet ist (Mankiw & Taylor, 2024). Diese lässt sich wie folgt darstellen:

$ U(x,y) = a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta $

U	Der Gesamtnutzen, den ein Konsument aus dem Konsum der Güter zieht.
a	Skalierungs- oder Normalisierungskonstante, die das Nutzenniveau beeinflusst.
x	Die Menge des ersten Gutes.
y	Die Menge des zweiten Gutes.
$α$ & $β$	Die Nutzenelastizitäten der Güter $x$ und y, die anzeigen, wie sich der Nutzen ändert, wenn sich die Menge des jeweiligen Gutes um 1 % ändert.

$ U(x,y) = a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta $

U	Der Gesamtnutzen, den ein Konsument aus dem Konsum der Güter zieht.
a	Skalierungkonstante, die das Nutzenniveau beeinflusst.
x	Die Menge des ersten Gutes.
y	Die Menge des zweiten Gutes.
$α$ & $β$	Die Nutzenelastizitäten der Güter $x$ und y, die anzeigen, wie sich der Nutzen ändert, wenn sich die Menge des jeweiligen Gutes um 1 % ändert.

Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion eignet sich besonders gut, um ordinale Eigenschaften zu verdeutlichen, da sie die Präferenzen der Konsumenten durch die relativen Größenordnungen der Parameter α und β widerspiegelt, ohne sich auf absolute Nutzenwerte zu verlassen. Wenn in dieser Funktion α=0,8 und β=0,2 gesetzt werden, bedeutet das Folgendes:

Die Parameter α und β bestimmen die Gewichtung, die der Konsument den beiden Gütern in seinem Nutzen beilegt. In diesem Fall hat Gut x eine Gewichtung von 0,8, während Gut y eine Gewichtung von 0,2 hat. Das bedeutet, dass der Konsument Gut x relativ zu Gut y deutlich stärker bevorzugt. Der Nutzen steigt also stärker, wenn der Konsum von x erhöht wird, im Vergleich zu einer Erhöhung des Konsums von y (Mankiw & Taylor, 2024).

Eigenschaft: Quasi-Konkavität (Konvexität)

Quasi-Konkavität ist eine wesentliche Eigenschaft von Nutzenfunktionen, die sicherstellt, dass die Menge der bevorzugten Güterbündel konvex ist. Eine Funktion ist quasi-konkav, wenn alle ihre oberen Niveaumengen konvex sind, was in der Praxis bedeutet, dass Mischungen von Gütern mindestens genauso gut sind wie extreme Bündel. Eine konvexe Menge ist eine Menge, in der für jede beliebige Kombination zweier Punkte innerhalb der Menge auch die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig in der Menge liegt. Diese Eigenschaft führt zu konvexen Indifferenzkurven, die in der ökonomischen Analyse entscheidend sind (Nicholson & Snyder, 2012). Der konvexe Verlauf wird anhand folgender Grafik deutlich:

Indifferenzkurven einr Cobb Douglas-Nutzenfunktion

Homogenität

Die Cobb-Douglas-Funktion veranschaulicht auch den Unterschied zwischen homogenen und homothetischen Funktionen. Auf beide Begriffe gehen wir im Folgenden ein. Dabei wird auch deutlich werden, dass die Cobb Douglas Funktion nicht nur ordinale, sondern auch kardinale Eigenschaften aufweist. Der Grund dafür ist, dass eine Cobb Douglas Funktion homogen ist.

Eine Funktion ist homogen, wenn bei einer proportionalen Erhöhung der Mengen x und y das Nutzenniveau um einen festen Faktor skaliert wird. Diese proportionale Erhöhung wird mithilfe von Lambda (λ) dargestellt. Bei der Cobb-Douglas-Funktion ist die Homogenität vom Grad α+β, also der Summe der Exponenten der Variablen x und y abhängig. Diese Eigenschaft ist kardinal, da sie sich bei bestimmten Transformationen der Funktion ändern kann (Nicholson & Snyder, 2012).

Indifferenzkurve einer Cobb Douglas-Nutzenfunktion: Homogenität anhand der Grenzrate der Substitution

Der Homogenitätsgrad lässt sich ermitteln, indem wir zunächst Lambda als Proportionalitätsfaktor zu jeder Variable der Funktion ergänzen, um anschließend diesen aus der Funktion auszuklammern:

$ U(\lambda x, \lambda y) = (a \cdot (\lambda x)^\alpha \cdot (\lambda y)^\beta) $ $ U(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{\alpha + \beta} \cdot (a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta) $ $ U(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{\alpha + \beta} \cdot U(x, y) $

$ \alpha + \beta $	Homogenitätsgrad

Der Homogenitätsgrad lässt sich ermitteln, indem wir zunächst Lambda als Proportionalitätsfaktor zu jeder Variable der Funktion ergänzen, um anschließend diesen aus der Funktion auszuklammern:

Die Homogenität ist kardinal, weil sie explizit die Skalierung der Nutzenwerte in Reaktion auf die Skalierung der Güter berücksichtigt. Die absolute Höhe des Nutzens ändert sich in einer vorhersehbaren Weise in Abhängigkeit von λ. Diese Skalierung ist eine kardinale Eigenschaft, weil sie eine konkrete, messbare Veränderung im Nutzen angibt.

Homothetie

Eine Funktion ist homothetisch, wenn die Grenzrate der Substitution (das Verhältnis, zu dem ein Gut gegen ein anderes ausgetauscht werden kann) nur vom Verhältnis der Gütermengen abhängt und nicht von deren absoluten Werten. Dies bedeutet, dass sich die Form der Indifferenzkurven bei proportionalen Änderungen der Mengen nicht ändert. Homothetizität ist eine ordinale Eigenschaft, da sie nicht durch monotone Transformationen beeinflusst wird. Dies lässt sich anhand von zwei Merkmalen verdeutlichen:

Unveränderte Präferenzordnung: Wenn eine Funktion homothetisch ist, bedeutet dies, dass bei einer proportionalen Veränderung der Gütermengen (z.B. beide Mengen werden verdoppelt oder halbiert) die Reihenfolge der Präferenzen des Konsumenten gleich bleibt. Diese Unveränderlichkeit der Präferenzordnung unter proportionalen Änderungen ist das, was die Eigenschaft „ordinal“ beschreibt.

Unabhängigkeit von absoluten Werten: Da die Präferenzordnung unter proportionalen Änderungen erhalten bleibt, ist die Homothetizität eine ordinale Eigenschaft, weil sie zeigt, dass es nicht auf die genauen (kardinalen) Werte des Nutzens ankommt, sondern nur auf die relative Position der verschiedenen Güterbündel zueinander (Nicholson & Snyder, 2012).

Grenzrate der Substitution

Darüber hinaus hilft die Steigung der Indifferenzkurve, die Grenzrate der Substituion, weitere Merkmale der ordinalen Eigenschaften einer Cobb Douglas Nutzenfunktion aufzuzeigen. Die Grenzrate der Substitution, häufig abgekürzt mit GRS oder MRS, lässt sich über den Quotienten der partiellen Ableitungen der Cobb Douglas Nutzenfunktion mathematisch darstellen:

$ \text{GRS} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{ \frac{ \delta U}{ \delta x}}{ \frac{ \delta U}{ \delta y}} $

$ \text{GRS} $	Grenzrate der Substitution
$ MU_x $	Grenznutzen von Gut x (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x)
$ MU_y $	Grenznutzen von Gut y (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach y)

$ \text{GRS} $	Grenzrate der Substitution
$ MU_x $	Grenznutzen von Gut x (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x)
$ MU_y $	Grenznutzen von Gut y (Partielle Ableitung der Nutzenfunktio nach y)

Das Besondere an der GRS bei der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion ist, dass sie nur vom Verhältnis der Mengen der beiden Güter y zu x abhängt und von den Parametern α und β, aber nicht von den absoluten Mengen. Das bedeutet:

Proportionale Änderungen: Wenn sowohl x als auch y um denselben Faktor skaliert werden, bleibt das Verhältnis gleich. Die funktion ist somit homogen. Daher bleibt auch die GRS unverändert.
Unveränderte Präferenzordnung: Da die GRS konstant bleibt, wenn beide Gütermengen proportional verändert werden, bedeutet das, dass die Präferenzordnung des Konsumenten unverändert bleibt, was eine charakteristische Eigenschaft einer ordinalen Nutzenfunktion ist.

Die Cobb-Douglas-Funktion ist primär ordinal, weil sie die Rangordnung der Präferenzen darstellt. Sie weist jedoch auch teilweise kardinale Eigenschaften auf, insbesondere im Kontext von Verhältnisänderungen und der Analyse der Skalenerträge. Diese duale Natur macht die Funktion besonders nützlich für verschiedene ökonomische Analysen.

#05 Unterschiede: Kardinal und Ordinal

Der Hauptunterschied zwischen der kardinalen und der ordinalen Nutzentheorie liegt in der Messbarkeit des Nutzens. Die kardinale Nutzentheorie geht davon aus, dass Nutzen in konkreten Einheiten messbar ist, was detaillierte quantitative Analysen ermöglicht. Die ordinale Nutzentheorie hingegen arbeitet mit einer Rangordnung von Präferenzen, ohne den Nutzenwert direkt zu messen. Während die kardinale Theorie nützlich für theoretische Modelle ist, bietet die ordinale Theorie eine praktischere und realistischere Sichtweise, die besser mit der tatsächlichen Entscheidungsfindung übereinstimmt. Das Verständnis dieses Unterschieds ist entscheidend für die Anwendung ökonomischer Modelle und die Analyse von Konsumentenverhalten.

Literatur

Nicholson, W., & Snyder, C. (2012). Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions (11th ed.). Cengage Learning.
Mankiw, N. G., & Taylor, M. P. (2024). Grundzüge der Volkswirtschaftslehre (9., überarbeitete Auflage). Schäffer-Poeschel Verlag.

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