Gamma- und Erlang-Verteilung: Wahrscheinlichkeiten und Quantile berechnen.
Trag die Form k und die Rate λ (oder die Skala θ) ein, wähle, was in deiner Aufgabe gesucht ist, und vergleiche mit deinem Rechenweg. Bei ganzzahligem k (Erlang-Verteilung) zeigt dir der Rechner den Weg über die Poisson-Verteilung, für Quantile den Weg über die χ²-Verteilung, dazu den genauen Wert, die Fläche unter der Dichtekurve, Erwartungswert und Varianz.
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Häufige Fragen zur Gammaverteilung.
Wann ist eine Zufallsvariable gammaverteilt?
Wenn sie eine Wartezeit oder Dauer beschreibt, die sich aus mehreren Phasen zusammensetzt. Mit ganzzahliger Form \({k}\) ist \({X}\) die Wartezeit bis zum \({k}\)-ten Ereignis, wenn Ereignisse unabhängig mit der Rate \({\lambda}\) eintreten. Typisch sind die Wartezeit bis zum dritten Kunden, Bearbeitungszeiten aus mehreren Schritten, Niederschlagsmengen und Schadenhöhen. Mit \({k = 1}\) ist das die Exponentialverteilung, mit \({k = \nu/2}\) und \({\lambda = 1/2}\) die χ²-Verteilung.
Was ist der Unterschied zwischen Gamma- und Erlang-Verteilung?
Die Erlang-Verteilung ist die Gammaverteilung mit ganzzahliger Form \({k}\). Dann ist \({X}\) die Summe von \({k}\) unabhängigen exponentialverteilten Wartezeiten mit der Rate \({\lambda}\), und du rechnest Wahrscheinlichkeiten von Hand über die Poisson-Verteilung aus. Bei nicht ganzzahligem \({k}\) gibt es dafür keine Formel mit endlich vielen Summanden, dann brauchst du Software.
Wie berechne ich \({\mathrm{P}(X \le x)}\) bei der Erlang-Verteilung?
Über die Poisson-Verteilung: \({X \le x}\) heißt, dass bis \({x}\) mindestens \({k}\) Ereignisse eingetreten sind. Mit \({\mu = \lambda x}\) gilt \({\mathrm{P}(X \le x)} = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} \mathrm{e}^{-\mu} \mu^{i}/i!\). Kommen im Schnitt 0,5 Kunden pro Minute, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Kunde nach höchstens 4 Minuten da ist, \(1 - \mathrm{e}^{-2} \cdot {(1 + 2 + 2)} \approx 0{,}3233\).
Wie hängen Form, Rate und Skala zusammen?
Für \({X \sim \Gamma(k; \lambda)}\) ist \({\mathrm{E}(X) = k/\lambda}\) und \({\mathrm{Var}(X) = k/\lambda^{2}}\). Oft ist statt der Rate die Skala \({\theta = 1/\lambda}\) angegeben, dann ist \({\mathrm{E}(X) = k\theta}\) und \({\mathrm{Var}(X) = k\theta^{2}}\). Excel (GAMMA.VERT) und R mit scale rechnen mit der Skala. Für \({k = 3}\) und \({\lambda = 0{,}5}\) ist \({\mathrm{E}(X) = 6}\) und \({\mathrm{Var}(X) = 12}\).
Wie bestimme ich ein Quantil der Gammaverteilung?
Ist \({2k}\) ganzzahlig, über die χ²-Verteilung: \({2\lambda X}\) ist χ²-verteilt mit \({2k}\) Freiheitsgraden, also \({x_q = \chi^{2}_{2k; q}/(2\lambda)}\). Für \({k = 3}\), \({\lambda = 0{,}5}\) und \({q = 0{,}95}\) ist \(x_{0{,}95} = \chi^{2}_{6; 0{,}95} \approx 12{,}59\). Sonst nimmst du Software, etwa GAMMA.INV in Excel. Im Rechner wählst du dafür „\({x}\) gesucht“.