Dreiecks­verteilung: Wahrscheinlich­keiten und Quantile berechnen.

Wenn du nur den kleinsten, den wahrscheinlichsten und den größten Wert kennst. Typisch sind Dreipunktschätzungen in der Projektplanung (optimistisch, wahrscheinlich, pessimistisch), Kosten- und Risikoschätzungen und Monte-Carlo-Simulationen. Anders als die Gleichverteilung bevorzugt sie Werte nahe dem wahrscheinlichsten Wert \({c}\).

Als Dreiecksfläche. Links von der Spitze ist \(F(x) = {(x - a)^{2}}/{((b - a)(c - a))}\). Rechts davon ist die Fläche rechts von \({x}\) ein Dreieck: \({\mathrm{P}(X \ge x)} = {(b - x)^{2}}/{((b - a)(b - c))}\). Mit \({a = 2}\), \({c = 4}\) und \({b = 9}\) Tagen ist \({\mathrm{P}(X \le 5)} = 1 - 4^{2}/{(7 \cdot 5)} = 1 - 16/35 = 19/35 \approx 0{,}5429\).

Die Fläche unter dem Dreieck ist 1 und seine Grundseite \({b - a}\). Also hat die Spitze die Höhe \({f(c) = 2/(b - a)}\), für \({a = 2}\) und \({b = 9}\) ist das \({2/7 \approx 0{,}2857}\). Von \({a}\) bis \({c}\) steigt die Dichte linear an, bis \({b}\) fällt sie wieder auf 0.

Mit \({\mathrm{E}(X) = (a + b + c)/3}\) und \(\mathrm{Var}(X) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc)}/18\). Für \({a = 2}\), \({c = 4}\) und \({b = 9}\) ist \({\mathrm{E}(X) = 15/3 = 5}\) und \(\mathrm{Var}(X) = {(4 + 81 + 16 - 18 - 8 - 36)}/18 = 39/18 \approx 2{,}1667\), also \({\sigma \approx 1{,}4720}\).

Nach PERT schätzt man die Dauer mit \({(a + 4c + b)/6}\) und gewichtet den wahrscheinlichsten Wert viermal, dahinter steckt eine Betaverteilung. Für 2, 4 und 9 Tage ergibt PERT \({(2 + 16 + 9)/6 = 4{,}5}\) Tage, die Dreiecksverteilung 5 Tage. Bei weit auseinanderliegenden Schätzungen ist die Dreiecksverteilung also vorsichtiger.