Betaverteilung: Wahrscheinlichkeiten und Quantile berechnen.
Trag die Parameter α und β ein, wähle, was in deiner Aufgabe gesucht ist, und vergleiche mit deinem Rechenweg. Bei ganzzahligen Parametern zeigt dir der Rechner den Weg über die Binomialverteilung, sonst den genauen Wert, dazu Quantile, Bereiche, Kennzahlen und die Dichtekurve auf [0; 1].
- Über die Binomialverteilung
- Quantile und Bereiche
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Häufige Fragen zur Betaverteilung.
Wofür braucht man die Betaverteilung?
Für Größen zwischen 0 und 1: Anteile, Quoten und Wahrscheinlichkeiten. In der Bayes-Statistik beschreibt sie das Wissen über eine unbekannte Erfolgswahrscheinlichkeit, in der Projektplanung nach PERT die Dauer eines Vorgangs. \({\mathrm{Beta}(1; 1)}\) ist die Gleichverteilung auf \({[0; 1]}\).
Wie berechne ich \({\mathrm{P}(X \le x)}\) bei ganzzahligen \({\alpha}\) und \({\beta}\)?
Über die Binomialverteilung: \({\mathrm{P}(X \le x) = \mathrm{P}(Y \ge \alpha)}\) mit \({Y \sim \mathrm{B}(\alpha + \beta - 1; x)}\). Für \({\alpha = 2}\), \({\beta = 5}\) und \({x = 0{,}3}\) ist \({Y \sim \mathrm{B}(6; 0{,}3)}\) und \({\mathrm{P}(X \le 0{,}3)} = 1 - 0{,}7^{6} - 6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^{5} \approx 0{,}5798\). Bei nicht ganzzahligen Parametern brauchst du die unvollständige Betafunktion, etwa BETA.VERT in Excel.
Was bedeuten \({\alpha}\) und \({\beta}\)?
Sie bestimmen Lage und Form: \({\mathrm{E}(X) = \alpha/(\alpha + \beta)}\) und \(\mathrm{Var}(X) = \alpha\beta/{((\alpha + \beta)^{2}(\alpha + \beta + 1))}\). Für \({\alpha = 2}\) und \({\beta = 5}\) ist \({\mathrm{E}(X) = 2/7 \approx 0{,}2857}\), der häufigste Wert ist \({(\alpha - 1)/(\alpha + \beta - 2) = 0{,}2}\). Mit \({\alpha = \beta}\) ist die Verteilung symmetrisch um 0,5, mit \({\alpha, \beta \lt 1}\) U-förmig. Je größer \({\alpha + \beta}\), desto schmaler.
Was hat die Betaverteilung mit Bayes-Statistik zu tun?
Beschreibt \({\mathrm{Beta}(\alpha; \beta)}\) dein Vorwissen über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit \({p}\), wird daraus nach \({s}\) Erfolgen und \({f}\) Misserfolgen \({\mathrm{Beta}(\alpha + s; \beta + f)}\). Startest du mit der Gleichverteilung \({\mathrm{Beta}(1; 1)}\) und beobachtest 3 Erfolge in 10 Versuchen, erhältst du \({\mathrm{Beta}(4; 8)}\) mit dem Erwartungswert \({4/12 \approx 0{,}3333}\).
Was ist die Betafunktion?
\({\mathrm{B}(\alpha; \beta) = \Gamma(\alpha) \cdot \Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha + \beta)}\) sorgt dafür, dass die Fläche unter der Dichte \(f(x) = x^{\alpha - 1}{(1 - x)^{\beta - 1}}/{\mathrm{B}(\alpha; \beta)}\) genau 1 ist. Für ganze Zahlen ist \({\mathrm{B}(\alpha; \beta)} = {(\alpha - 1)}!\,{(\beta - 1)}!/{(\alpha + \beta - 1)}!\), etwa \({\mathrm{B}(2; 5)} = 1! \cdot 4!/6! = 1/30\). Die Dichte bei 0,3 ist dann \({30 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^{4} \approx 2{,}1609}\).