Hedges’ g für abhängige Gruppen: Effektstärke berechnen und einordnen.

Trag deine Kennwerte, einen t-Wert oder Rohdaten ein und wähl die passende Variante. Der Rechner zeigt dir Hedges’ g und g*, für g₁ mit Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall, dazu den Rechenweg und eine Abbildung.

Vier Varianten im Vergleich
Mit Rechenweg und Abbildung
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Berechnungsgrundlage.

Hedges’ g ist ein Effektmaß in der Statistik, das ähnlich wie Cohens d die Größe des Effekts zwischen zwei Gruppen misst. Es korrigiert jedoch Verzerrungen in kleinen Stichproben. Negative Werte zeigen eine umgekehrte Beziehung an. Es erleichtert Vergleiche über Studien hinweg, besonders bei begrenzten Stichproben & sollte somit vorzugsweise bei der Durchführung von Meta-Analysen Anwendung finden.

Es kann zwischen einer Berechnung auf Basis von mittlerer Differenz (M), zugehöriger Standardabweichung (SD) und Gruppengröße (n) oder einem t-Wert und Freiheitsgraden (df) bzw. Gruppengröße (n) gewählt werden.

Die Berechnungen orientierten sich an den Vorlagen von Cohen (1962), Hedges (1981), Glass et al. (1981), Becker (1988), Borenstein (2009), Cumming (2012) und Borenstein et al. (2021). Daraus ergeben sich vier verschiedene Möglichkeiten, g zu berechnen. Die Berechnung aus einem t-Wert und Gruppengröße bzw. Freiheitsgrade bezieht sich auf die Variante von Borenstein et al. (2019).

Darüber hinaus werden für die Berechnung der Standardabweichungen die Freiheitsgrade (df) und nicht die eigentliche Gruppengröße (n) genutzt. Darin liegt der Unterschied zu Cohens d als rein deskriptives Maß.

Hedges’ \({g}\)

Borenstein (2009)

\[ g_{1} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{pooled}}} = \frac{M_{\text{Post}} - M_{\text{Pre}}}{S_{\text{pooled}}} \]

Cumming (2012)

\[ g_{2} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{av}}} \]

Cohen (1962)

\[ g_{3} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{Diff,k}}} \]

Glass et al. (1981)

\[ g_{4} = \frac{M_{\text{Diff}}}{S_{\text{Pre,k}}} \]

Aus dem \({t}\)-Wert, entspricht \({g_{1}}\)

\[ g_{1} = t \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot (1 - r)}{n}} \]

Hedges’ \({g^{*}}\)

\[ g^{*} = g \cdot \left( 1 - \frac{3}{4 \cdot df - 1} \right) \qquad df = n - 1 \]

Standardabweichungen

Du trägst die SDs mit \({n}\) im Nenner ein. Der Rechner setzt sie dann auf die Freiheitsgrade um. Das zeigt der Index \({\text{k}}\).

Umsetzen auf Freiheitsgrade

\[ S_{\text{k}} = S \cdot \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \]

Standardabweichung der Differenzen

\[ S_{\text{Diff}} = \sqrt{S_{\text{Pre}}^{2} + S_{\text{Post}}^{2} - 2 \cdot r \cdot S_{\text{Pre}} \cdot S_{\text{Post}}} \]

Gepoolte Standardabweichung

\[ S_{\text{pooled}} = \frac{S_{\text{Diff,k}}}{\sqrt{2 \cdot (1 - r)}} \]

Gemittelte Standardabweichung

\[ S_{\text{av}} = \sqrt{\frac{S_{\text{Pre,k}}^{2} + S_{\text{Post,k}}^{2}}{2}} \]

Wie stark \({g}\) und \({g^{*}}\) von Cohens \({d}\) abweichen

Beide Korrekturen machen den Betrag des Effekts kleiner. Aus denselben Eingaben folgt:

\[ g = d \cdot \sqrt{\frac{n - 1}{n}} \]

Je kleiner die Stichprobe, desto stärker die Korrektur. Bei \({n = 5}\) bleiben von \({d}\) noch 89 % als \({g}\) und 72 % als \({g^{*}}\). Bei \({n = 30}\) sind es 98 % und 96 %.

Standardfehler und Konfidenzintervall

Beide gibt es nur für \({g_{1}}\), auch auf dem Weg über den \({t}\)-Wert. Dafür brauchst du \({n}\) und \({r}\). Der Standardfehler folgt der Form von Becker (1988) und weicht damit von der bei Borenstein (2009) abgedruckten Formel ab: Dort wird auch der zweite Summand mit \({2 \cdot (1 - r)}\) multipliziert.

\[ SE_{g} = \sqrt{\frac{2 \cdot (1 - r)}{n} + \frac{g^{2}}{2n - 1}} \]

Für \({g^{*}}\) gilt dieselbe Formel mit \({g^{*}}\) statt \({g}\). Das 95-%-Konfidenzintervall läuft über die \({t}\)-Verteilung:

\[ g \pm t_{0{,}975;\,df} \cdot SE_{g} \qquad df = n - 1 \]

Der \({t}\)-Wert wird aus der inversen \({t}\)-Verteilung bestimmt und berücksichtigt die Stichprobengröße. Bei kleinen Stichproben ist \({t_{0{,}975;\,df} \gt 1{,}96}\), was zu korrekterweise breiteren Konfidenzintervallen führt.

Interpretation

Konvention zur Interpretation von \({g}\) nach Cohen (1992):

Betrag von \({g}\)	Einordnung
\({\|g\| \lt 0{,}20}\)	kein Effekt
\({0{,}20 \le \|g\| \lt 0{,}50}\)	kleiner Effekt
\({0{,}50 \le \|g\| \lt 0{,}80}\)	moderater Effekt
\({\|g\| \ge 0{,}80}\)	großer Effekt

Mehr dazu findest du in der Interpretationshilfe.

Literatur

Becker, B. J. (1988). Synthesizing standardized mean-change measures. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 41(2), 257–278. https://doi.org/10.1111/j.2044-8317.1988.tb00901.x
Borenstein (2009). Effect sizes for continuous data. In H. Cooper, L. V. Hedges, & J. C. Valentine (Eds.), The handbook of research synthesis and meta analysis (pp. 221-237). New York: Russell Sage Foundation.
Borenstein, M., Hedges, L. V., Higgins, J. P. T. & Rothstein, H. R. (2021). Introduction to Meta-Analysis. John Wiley & Sons.
Cohen, J. (1962). The statistical power of abnormal-social psychological research: A review. The Journal of Abnormal and Social Psychology, 65(3), 145–153. https://doi.org/10.1037/h0045186
Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112(1), 155–159. https://doi.org/10.1037/0033-2909.112.1.155
Cumming, G. (2012). Understanding the new statistics: Effect sizes, confidence intervals, and meta-analysis. Routledge/Taylor & Francis Group.
Glass, G. V., McGaw, B., and Smith, M. L. (1981). Meta-Analysis in Social Research. Beverly Hills, CA: Sage.
Hedges, L. V. (1981). Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128. https://doi.org/10.2307/1164588

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Zur Datenanalyse

Häufige Fragen zu Hedges’ g bei abhängigen Gruppen.

Welche Standardabweichung trage ich ein?

Die SD mit \({n}\) im Nenner. Der Rechner setzt sie selbst auf die Freiheitsgrade um. Trägst du eine SD mit \({n - 1}\) im Nenner ein, wird sie doppelt korrigiert. Mit Rohdaten erledigt der Rechner alles selbst.

Was ist der Unterschied zwischen \({g}\), \({g^{*}}\) und Cohens \({d}\)?

Cohens \({d}\) ist rein deskriptiv. Hedges’ \({g}\) nutzt die Besselkorrektur, \({g^{*}}\) korrigiert zusätzlich für kleine Stichproben. Das deskriptive Maß berechnest du mit dem Rechner für Cohens \({d}\).

Worin unterscheiden sich die vier Varianten?

Alle teilen dieselbe mittlere Differenz, nur der Nenner wechselt. \({g_{1}}\) nutzt die gepoolte SD aus \({S_{\text{Diff,k}}}\) und \({r}\), \({g_{2}}\) die gemittelte SD von Pre und Post, \({g_{3}}\) die SD der Differenzen und \({g_{4}}\) die SD der Pre-Messung.

Wie berechne ich \({g}\) aus einem \({t}\)-Wert?

Wähl bei den Eingaben \({t}\)-Wert. Mit \({t}\), \({r}\) und \({n}\) ergibt sich \({g_{1} = t \cdot \sqrt{2 \cdot (1 - r) / n}}\). Die übrigen Varianten brauchen Mittelwerte und SDs.

Wann zeigt der Rechner Standardfehler und Intervall?

Nur für \({g_{1}}\), dafür brauchst du \({n}\) und \({r}\). Bei den anderen Varianten steht „nicht möglich“.

Wie berichte ich das Ergebnis?

Nenne Kennwerte, Variante und, falls vorhanden, die Intervalle. Zum Beispiel: Der Mittelwert lag bei Post (\({M = 68{,}50}\); \({SD = 11{,}70}\)) über dem Wert bei Pre (\({M = 61{,}20}\); \({SD = 12{,}40}\)), \({g = 0{,}59}\), 95-%-KI [0,27; 0,92]; \({g^{*} = 0{,}58}\), 95-%-KI [0,26; 0,90] (Borenstein, 2009). Der Rechner erstellt dir diesen Satz mit deinen Werten.