Inhalt

Lesezeit: 4 Minuten

Substitutions-Methode: Berechnung des Haushalt-Optimums

von Thomas Jansen

#01 Einführung

Die Substitutionsmethode hilft uns dabei, zu berechnen, wie ein Haushalt sein Einkommen auf zwei verschiedene Güter optimal aufteilen kann, um seinen Nutzen zu maximieren. Das Haushalts-Optimum beschreibt dabei die beste Kombination von Gütern, die ein Konsument bei gegebenem Budget wählen sollte, um das höchste Maß an Zufriedenheit zu erreichen. Um das grafisch darzustellen, benutzen wir zwei Kurven.

Budgetgerade

Die Budgetgerade zeigt, welche Kombinationen von Gütern der Haushalt sich mit seinem Einkommen leisten kann.

Budgetgerade

Indifferenzkurve

Die Indifferenzkurve zeigt Kombinationen von Gütern, die dem Konsumenten das gleiche Maß an Zufriedenheit (Nutzen) bringen.

Indifferenzkurven

Haushalts-Optimum

Das Haushalts-Optimum liegt im Berührungspunkt von Budgetgerade und Indifferenzkurve. Aufgrund des Tangentialpunktes entspricht dort die Grenzrate der Substitution den relativen Preisen.

Haushalts-Optimum (Budgetgerade & Indifferenzkurve)

#02 Schematische Darstellung des Substitutions-Verfahrens

Das Haushalts-Optimum ist erreicht, wenn die Steigung der Indifferenzkurve (die Grenzrate der Substitution) der Steigung der Budgetgeraden (die relativen Preise) entspricht. Dies bedeutet, dass der Konsument das optimale Verhältnis zwischen den Gütern gewählt hat, um seinen Nutzen bei gegebenem Budget zu maximieren.

Das Optimierungsproblem lässt sich demnach wie folgt darstellen:

Maximiere die Nutzenfunktion:

\( U(x,y) \)

unter Einhaltung der Budgetrestriktion:

\( m=p_x \cdot x + p_y \cdot y \)

Für die Berechnung des Haushalts-Optimums mithilfe des Substitutions-Verfahrens kann sich an folgenden Schritten orientiert werden:

Schritt 1: Budgetbedingung nach y umstellen

Schritt 2: y in Nutzenfunktion einsetzen

Schritt 3: Nutzenfunktion partiell nach x ableiten

Schritt 4: Abgeleitete Nutzenfunktion gleich 0 setzen und nach x auflösen

Schritt 5: x-Wert in y (Ergebnis aus Schritt 1) einsetzen

Schritt 6: x- und y-Werte in Nutzenfunktion einsetzen

#03 Substitutions-Methode am Beispiel

Für unser Beispiel nehmen wir einen Haushalt, der zwei Güter „x“ und „y“ konsumieren möchte. Für den Konsum hat er ein Budget von 100€ zur Verfügung. Gut x kostet den Haushalt 4€ und Gut y kostet den Haushalt 2€. Darüber hinaus ist eine Cobb Douglas-Nutzenfunktion gegeben. Die gegebenen Informationen sowie die angenommene Nutzenfunktion sind in der Tabelle zusammengefasst:

Nutzenfunktion:

\( U(x,y)=50\cdot x^{0.5} +2y \)

unter Einhaltung der Budgetrestriktion:

\(100=4 x + 2 y \)

Im Folgenden findest du die Schritte, die zur Berechnung des Haushalts-Optimums mithilfe der Substitutions-Methode notwendig sind:

Schritt 1: Budgetbedingung nach y umstellen

\( p_x \cdot x + p_y \cdot y = m \\ 4x+2y=100 ~ | ~ -4x \\ 2y = 100-4x ~ | ~ :2 \\ y(x)= 50 - 2x\)

Schritt 2: y(x) in Nutzenfunktion einsetzen

\( U(x,y) = 50 x^{0.5} + 2y \\ U(x, y(x))=50x^{0.5} + 2 \cdot (50-2x) \\ U(x, y(x))=50x^{0.5}+100-4x \)

Schritt 3: Nutzenfunktion partiell nach x ableiten

\( U'_x=25x^{-0.5} -4 \)

Schritt 4: Abgeleitete Nutzenfunktion gleich 0 setzen und nach x auflösen

\( 25x^{-0.5} -4 = 0 ~ | ~ +4 \\ 25x^{-0.5} = 4 ~ | ~ :25 \\ x^{-0.5}=0.16 ~ | ~ (~)^{-2} \\ x = 2.5 \)

Schritt 5: x-Wert in y (Ergebnis aus Schritt 1) einsetzen

\( y(x)=50-2x \\ y(2.5)=50-2\cdot 2.5 \\ y = 45\)

Schritt 5: x- und y-Werte in Nutzenfunktion einsetzen

\( U(2.5 , 45)= 50 \cdot 2.5^{0.5} + 2 \cdot 45 \\ U(2.5 , 45) = 169.06 \)

Antwort: Der Haushalt muss 2.5 Einheiten von Gut x und 45 Einheiten von Gut y konsumieren, um einen maximalen Nutzen von 169.06 zu erzielen.

Sofern du die einzelnen Schritte ausführlich erklärt haben möchtest, zeige ich dir im Video die genaue Vorgehensweise.

Aus datenschutzrechtlichen Gründen benötigt YouTube Ihre Einwilligung um geladen zu werden. Mehr Informationen finden Sie unter Datenschutz.