Ein Haushalt möchte mit seinem gegebenen Budget einen größmtöglichen Nutzen erzielen. In der Aufgabe sind sowohl die Nutzenfunktion, wie auch die Preise der Güter (c & d) und das Einkommen (e) gegeben. Vereinfacht lässt sich das Optimierungsproblem wie folgt darstellen:
Zu Optimieren:
\( U(x,y)=a \cdot x^\alpha \cdot b \cdot y^\beta \)
Nebenbedingung:
\( c\cdot x + d \cdot y = e \)
Lagrange-Funktion:
\( L(x,y, \lambda) = \mathbf{a} x^\mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{b} y^\mathbf{\beta} - \lambda (\mathbf{c} x + \mathbf{d} y - \mathbf{e}) \)
VWL Optimierungsrechner
VWL Optimierungsrechner
Nutzen- & Produktionsfunktionen mit Lagrange-Optimierung
Cobb-Douglas NutzenfunktionNutzenmaximierung
$U(x, y) = a \cdot x^\alpha \cdot b \cdot y^\beta$
Nebenbedingung: $p_x \cdot x + p_y \cdot y = m$
Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion modelliert Präferenzen mit konstanter Substitutionselastizität.
Ergebnisse
Optimale Menge x*
—
Optimale Menge y*
—
Maximaler Nutzen U*
—
Lagrange λ
—
Interpretation
Geben Sie Parameter ein und klicken Sie auf "Berechnen".
CES-NutzenfunktionNutzenmaximierung
$U(x, y) = (a \cdot x^\rho + b \cdot y^\rho)^{1/\rho}$
Nebenbedingung: $p_x \cdot x + p_y \cdot y = m$
Die CES-Funktion (Constant Elasticity of Substitution) erlaubt variable Substitutionselastizitäten. σ = 1/(1-ρ).
Ergebnisse
Optimale Menge x*
—
Optimale Menge y*
—
Maximaler Nutzen U*
—
Elastizität σ
—
Interpretation
Geben Sie Parameter ein und klicken Sie auf "Berechnen".
Perfekte SubstituteNutzenmaximierung
$U(x, y) = a \cdot x + b \cdot y$
Nebenbedingung: $p_x \cdot x + p_y \cdot y = m$
Bei perfekten Substituten ist die Grenzrate der Substitution konstant. Der Konsument kauft nur das Gut mit dem besseren Preis-Nutzen-Verhältnis.
Ergebnisse
Optimale Menge x*
—
Optimale Menge y*
—
Maximaler Nutzen U*
—
MRS
—
Interpretation
Geben Sie Parameter ein und klicken Sie auf "Berechnen".
Perfekte KomplementeNutzenmaximierung
$U(x, y) = \min(a \cdot x, b \cdot y)$
Nebenbedingung: $p_x \cdot x + p_y \cdot y = m$
Bei perfekten Komplementen werden Güter in festen Proportionen konsumiert. Optimal ist a·x = b·y.
Ergebnisse
Optimale Menge x*
—
Optimale Menge y*
—
Maximaler Nutzen U*
—
Verhältnis x:y
—
Interpretation
Geben Sie Parameter ein und klicken Sie auf "Berechnen".
Quasilineare NutzenfunktionNutzenmaximierung
$U(x, y) = a \cdot \ln(x) + y$
Nebenbedingung: $p_x \cdot x + p_y \cdot y = m$
Quasilineare Präferenzen bedeuten, dass es keinen Einkommenseffekt für Gut x gibt.
Ergebnisse
Optimale Menge x*
—
Optimale Menge y*
—
Maximaler Nutzen U*
—
Lagrange λ
—
Interpretation
Geben Sie Parameter ein und klicken Sie auf "Berechnen".
