Lagrange-Methode: Berechnung des Haushalt-Optimums

#01 Einführung

Das Lagrange-Verfahren ist eine häufig genutzte Methode zur Berechnung des Haushalts-Optimums. Es erlaubt die Maximierung einer Nutzenfunktion unter einer Nebenbedingung, in unserem Fall des Budgets. Das Haushalts-Optimum beschreibt die optimale Kombination von Gütern, die ein Konsument bei gegebenem Budget und Preisen kaufen sollte, um seinen Nutzen zu maximieren. Grafisch wird das Haushalts-Optimum an dem Punkt erreicht, an dem die höchste Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. An diesem Punkt entspricht die Steigung der Indifferenzkurve der Steigung der Budgetgerade, was bedeutet, dass die Grenzrate der Substitution gleich dem Verhältnis der Güterpreise ist. Mit dem Lagrange-Verfahren wollen wir also den Berührungspunkt einer vorgegebenen Budgetgerade und einer Indifferenzkurve bestimmen.

#02 Schematische Darstellung des Lagrange-Verfahrens

Für das Lagrange-Verfahren benötigen wir demnach eine Nutzenfunktion, die die möglichen Indifferenzkurven abbilden kann, und eine Budgetrestriktion, die in der Grafik durch die gelbe Gerade dargestellt ist. Diese lassen sich schematisch wie folgt darstellen. Für die Nutzenfunktion verwenden wir eine sogenannte Cobb-Douglas-Funktion. Andere Formen von Nutzenfunktionen beeinflussen jedoch nicht die einzelnen Schritte des Lagrange-Verfahrens.

Maximiere die Nutzenfunktion	\( U(x,y) = a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta \)
unter Einhaltung der Budgetrestriktion	\( m = p_x \cdot x + p_y \cdot y \)

Für die Nutzenfunktion verwenden wir eine sogenannte Cobb-Douglas-Funktion. Andere Formen von Nutzenfunktionen beeinflussen jedoch nicht die einzelnen Schritte des Lagrange-Verfahrens. Für die Berechnung des Haushalts-Optimums mithilfe des Lagrange-Verfahrens kann sich an folgenden Schritten orientiert werden:

Schritt 1: Lagrange-Funktion aufstellen
Schritt 2: Partielle Ableitungen bestimmen
Schritt 3: Partielle Ableitungen gleich 0 setzen und nach Lambda auflösen
Schritt 4: Lambda-Gleichungen gleichsetzen und nach x oder y auflösen
Schritt 5: x oder y aus Schritt 4 in die Budgetrestriktion einsetzen
Schritt 6: Ergebnis aus Schritt 5 in Ergebnis aus Schritt 4 einsetzen
Schritt 7: x- & y-Werte in Nutzenfunktion einsetzen

#03 Lagrange-Methode am Beispiel

Für unser Beispiel nehmen wir einen Haushalt, der zwei Güter „x“ und „y“ konsumieren möchte. Für den Konsum hat er ein Budget von 100€ zur Verfügung. Gut x kostet den Haushalt 10€ und Gut y kostet den Haushalt 2€. Darüber hinaus ist eine Cobb Douglas-Nutzenfunktion gegeben. Die gegebenen Informationen sind in der Tabelle zusammengefasst:

Nutzenfunktion	\( U(x,y) = 2 \cdot x^{0.8} \cdot y^{0.2} \)
unter Einhaltung der Budgetrestriktion	\( 100 = 10 \cdot x + 2 \cdot y \)

Im Folgenden findest du die Schritte, die zur Berechnung des Haushalts-Optimums mithilfe des Lagrange-Verfahrens notwendig sind:

Schritt 1: Lagrange-Funktion aufstellen	\( \mathcal{L}(x, y, \lambda) = U(x,y) - \lambda \cdot (p_x \cdot x + p_y \cdot y - m) \\ \mathcal{L}(x, y, \lambda) =2 x^{0.8} \cdot y^{0.2} - \lambda \cdot (10x + 2y - 100) \\ \mathcal{L}(x, y, \lambda) =2 x^{0.8} \cdot y^{0.2} - 10x \cdot \lambda - 2y \cdot \lambda + 100 \cdot \lambda) \)
Schritt 2: Partielle Ableitungen bestimmen	\( \mathcal{L‘_x}(x, y, \lambda) = 1.6x^{-0.2} \cdot y^{0.2} - 10 \cdot \lambda \\ \mathcal{L‘_y}(x, y, \lambda) = 2x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} - 2 \cdot \lambda \\ \mathcal{L‘_\lambda}(x, y, \lambda) = 10x + 2y - 100 \)
Schritt 3.1: Partielle Ableitung nach x gleich 0 setzen und nach Lambda auflösen	\( \mathcal{L‘_x}(x, y, \lambda) = 0 \\ 1.6x^{-0.2} \cdot y^{0.2} - 10 \cdot \lambda = 0 \: \| \: + 10 \cdot \lambda \\ 1.6x^{-0.2} \cdot y^{0.2} = 10 \cdot \lambda \: \| \: : 10 \\ 0.16x^{-0.2} \cdot y^{0.2} = \lambda \)
Schritt 3.2: Partielle Ableitung nach y gleich 0 setzen und nach Lambda auflösen	\( \mathcal{L‘_y}(x, y, \lambda) = 0 \\ 2x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} - 2 \cdot \lambda = 0 \: \| \: +2 \cdot \lambda \\ 2x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} = 2 \cdot \lambda \: \| \: :2 \\ x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} = \lambda \)
Schritt 4: Lambda-Gleichungen gleichsetzen und nach x oder y auflösen	\( 0.16x^{-0.2} \cdot y^{0.2}=x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} \: \| \: :0.16 \\ x^{-0.2} \cdot y^{0.2}=x^{0.8} \cdot 1.25 y^{-0.8} \: \| \: : x{-0.2} \\ y^{0.2}=x^1 \cdot 1.25 y^{-0.8} \: \| \: : y{-0.8} \\ y = 1.25x \)
Schritt 5: x oder y aus Schritt 4 in die Budgetrestriktion einsetzen	\( 100=10x+2y \\ 100 = 10x + 2 \cdot \textbf{(1.25x)} \\ 100 = 10x + 2.5x \\ 100 = 12.5x \: \| \: :12.5 \\ x = 8 \)
Schritt 6: Ergebnis aus Schritt 5 in Ergebnis aus Schritt 4 einsetzen	\( y = 1.25x \\ y = 1.25 \cdot 8 \\ y = 10 \)
Schritt 7: x- & y-Werte in Nutzenfunktion einsetzen	\( U(x,y)= 2 x^{0.8} \cdot y^{0.2} \\ U(8,10)=16.73 \)
Antwort	Der Haushalt muss 8 Einheiten von Gut x und 10 Einheiten von Gut y konsumieren, um einen maximalen Nutzen von 16.73 zu erzielen.

Sofern du die einzelnen Schritte ausführlich erklärt haben möchtest, zeige ich dir im Video gerne die genaue Vorgehensweise.

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#04 Der Lagrange-Multiplikator (λ)

Um dem Haushalt eine Empfehlung hinsichtlich seines Konsums zu geben, bietet Kapitel #03 einen vollständigen Überblick. Wir wissen wie viel der Haushalt konsumieren muss um seinen Nutzen zu maximieren sowie die Höhe dieses maximalen Nutzenniveaus. Lambda (λ) haben wir zwar für die Berechnung mithilfe des Lagrange-Verfahrens benötigt, jedoch haben wir sie bisher nur als Hilfsvariable genutzt, um das eigentliche Optimierungsproblem zu lösen. Allerdings verbirgt sich hinter dem λ-Wert eine nützliche Kennzahl: Der Schattenpreis. Um diesen zu verstehen berechnen wir diesen für die obenstehende Aufgabe. Dabei reicht es aus, unsere ermittelten x- und y-Werte nur in eine der beiden λ-Funktionen einzusetzen. Für einen besseren Überblick sind hier beide Varianten dargestellt:

Ergebnis aus Schritt 3.1	\( \lambda (x,y)= 0.16x^{-0.2} \cdot y^{0.2} \\ \lambda (8, 10)= 0.17 \)
Ergebnis aus Schritt 3.2	\( \lambda (x,y) = x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} \\ \lambda (8, 10) = 0.17 \)
Interpretation	Wenn sich das Budget (Nebenbedingung) um eine geringfügige Einheit erhöht, dann steigt das Nutzenniveau (zu optimierende Funktion) um 0.17.

Wir sehen also, dass der Lagrange-Multiplikator (Schattenpreis) für den Haushalt anzeigt, wie ein steigendes Budget auf das maximale Nutzenniveau einwirkt. Um diese Änderung von 0.17 wirklich beobachten zu können, muss die Änderung des Budgets jedoch sehr gering ausfallen.