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Lagrange-Methode: Berechnung der Minimalkostenkombination

von Thomas Jansen

#01 Einführung

Das Lagrange-Verfahren ist eine häufig genutzte Methode zur Berechnung der Minimalkostenkombination. Es erlaubt die Minimierung einer Kostenfunktion unter einer Nebenbedingung, in unserem Fall der produzierten Menge. Das Unternehmen möchte also eine vorgegebene produzierte Menge zu minimalen Kosten produzieren. Hierfür muss es wissen wie viele Einheiten der Produktionsfaktoren, üblicherweise Arbeit (L) und Kapital (K) einsetzen muss.

Grafisch wird die Minimalkostenkombination an dem Punkt erreicht, an dem die niedrigste Isokostenlinie die Isoquante tangiert. Mit dem Lagrange-Verfahren wollen wir also den Berührungspunkt einer vorgegebenen Isoquante (Produktionsfunktion) mit der geringstmöglichen Isokostenlinie (Kostenfunktion) bestimmen.

Lagrange: Berechnung des Haushalts-Optimums (Nutzenmaximum)

#02 Schematische Darstellung des Lagrange-Verfahrens

Für das Lagrange-Verfahren benötigen wir demnach eine Produktionsfunktion, die die möglichen Isoquanten abbilden kann, und eine Isokostenlinie, die in der oberen Grafik durch die blaue Kurve dargestellt ist. Diese lassen sich schematisch wie folgt darstellen.

Minimiere die Kostenfunktion:

\( C(L,K)= w \cdot L + r \cdot K \)

unter Einhaltung der Produktionsvorgabe:

\( Q(L,K)=a\cdot L^\alpha \cdot K ^\beta \)

Für die Produktionsfunktion verwenden wir eine sogenannte Cobb-Douglas-Funktion. Andere Formen von Nutzenfunktionen beeinflussen jedoch nicht die einzelnen Schritte des Lagrange-Verfahrens. Für die Berechnung des Kostenminimums mithilfe des Lagrange-Verfahrens kann sich an folgenden Schritten orientiert werden:

Schritt 1: Lagrange-Funktion aufstellen

Schritt 2: Partielle Ableitungen bilden

Schritt 3: Partielle Ableitungen gleich 0 setzen und nach Lambda auflösen

Schritt 4: Lambda-Gleichungen gleichsetzen und nach L oder K auflösen

Schritt 5: L oder K aus Schritt 4 in die Budgetrestriktion einsetzen

Schritt 6: Ergebnis aus Schritt 5 in Ergebnis aus Schritt 4 einsetzen

Schritt 7: L- und K-Werte in Kostenfunktion einsetzen

#03 Lagrange-Methode am Beispiel

Für unser Beispiel nehmen wir ein Unternehmen, das zwei Produktionsfaktoren Arbeit „L“ und Kapital „K“ einsetzt, um ein Gut, gemessen in der Menge Q, zu produzieren. Das Unternehmen strebt ein Produktionsniveau von 100 an (Q = 100). Der Lohn (w) beträgt 20€ und die Mietrate (r) beträgt 2€. Darüber hinaus ist eine Cobb Douglas-Produktionsfunktionen gegeben. Die Informationen sind in der Tabelle zusammengefasst:

Produktionsvorgabe:

\( 100 = 2\cdot L^{0.8} \cdot K ^{0.2} \\ 0 = 2\cdot L^{0.8} \cdot K ^{0.2} -100 \)

Kostenfunktion:

\( 20L + 2K \)

Im Folgenden findest du die Schritte, die zur Berechnung der Minimalkostenkombintation mithilfe des Lagrange-Verfahrens notwendig sind:

Schritt 1: Lagrange-Funktion aufstellen

\( L(x, y, \lambda) = C(L,K) + \lambda \cdot (Q(L,K) - Q) \\ L(x, y, \lambda) = 202 \, x^{0.8} \cdot y^{0.2} - \lambda \cdot (10x + 2y - 100) \\ L(x, y, \lambda) = 2 \, x^{0.8} \cdot y^{0.2} - 10x \lambda - 2y \lambda + 100 \lambda \)

Schritt 2: Partielle Ableitungen bilden

\( L'_x(x, y, \lambda) = 1.6x^{-0.2} \cdot y^{0.2} - 10 \lambda \\ L'_y(x, y, \lambda) = 2x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} - 2 \lambda \\ L'_{\lambda}(x, y, \lambda) = 10x + 2y - 100 \)

Schritt 3.1: Partielle Ableitung nach x gleich 0 setzen und nach Lambda auflösen

\( L'_x(x, y, \lambda) = 0 \\ 1.6x^{-0.2} \cdot y^{0.2} - 10 \lambda = 0 ~ | +10 \lambda \\ 1.6x^{-0.2} \cdot y^{0.2} = 10 \lambda ~ | ~ : 10 \\ 0.16x^{-0.2} \cdot y^{0.2} = \lambda \)

Schritt 3.2: Partielle Ableitung nach y gleich 0 setzen und nach Lambda auflösen

\( L'_y(x, y, \lambda) = 0 \\ 2x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} - 2 \lambda = 0 ~ | +2 \lambda \\ 2x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} = 2 \lambda ~ | ~ : 2 \\ x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} = \lambda \)

Schritt 4: Lambda-Gleichungen gleichsetzen und nach x oder y auflösen

\( 0.16x^{-0.2} \cdot y^{0.2} = x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} ~|~:0.16\\ x^{-0.2} \cdot y^{0.2} = x^{0.8} \cdot 1.25 y^{-0.8} ~|~:x^{-0.2} \\ y^{0.2} = x^1 \cdot 1.25 y^{-0.8} ~|~: y^{-0.8} \\ y = 1.25x \)

Schritt 5: x oder y aus Schritt 4 in die Budgetrestriktion einsetzen

\( 100 = 10x + 2y \\ 100 = 10x + 2 \cdot \color{#00b0f0}{(1.25x)} \\ 100 = 10x + 2.5x \\ 100 = 12.5x ~| ~ : 12.5 \\ x = 8 \)

Schritt 6: Ergebnis aus Schritt 5 in Ergebnis aus Schritt 4einsetzen

\( y = 1.25x \\ y = 1.25 \cdot 8 \\ y = 10 \)

Schritt 7: x- und y-Werte in Nutzenfunktion einsetzen

\(U(x, y) = 2 \cdot x^{0.8} \cdot y^{0.2} \\ U(8, 10) = 2 \cdot 8^{0.8} \cdot 10^{0.2} = 16.73 \)

Antwort: Der Haushalt muss 8 Einheiten von Gut x und 10 Einheiten von Gut y konsumieren, um einen maximalen Nutzen von 16.73 zu erzielen.

Sofern du die einzelnen Schritte ausführlich erklärt haben möchtest, zeige ich dir im Video die genaue Vorgehensweise.

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#04 Der Lagrange-Multiplikator (λ)

Um dem Haushalt eine Empfehlung hinsichtlich seines Konsums zu geben, bietet Kapitel #03 einen vollständigen Überblick. Wir wissen wie viel der Haushalt konsumieren muss um seinen Nutzen zu maximieren sowie die Höhe dieses maximalen Nutzenniveaus. Lambda (λ) haben wir zwar für die Berechnung mithilfe des Lagrange-Verfahrens benötigt, jedoch haben wir sie bisher nur als Hilfsvariable genutzt, um das eigentliche Optimierungsproblem zu lösen. Allerdings verbirgt sich hinter dem λ-Wert eine nützliche Kennzahl: Der Schattenpreis. Um diesen zu verstehen berechnen wir diesen für die obenstehende Aufgabe. Dabei reicht es aus, unsere ermittelten x- und y-Werte nur in eine der beiden λ-Funktionen einzusetzen. Für einen besseren Überblick sind hier beide Varianten dargestellt:

Ergebnis aus Schritt 3.1

\( \lambda(x, y) = 0.16x^{-0.2} \cdot y^{0.2} \\ \lambda(8, 10) = 0.17 \)

Ergebnis aus Schritt 3.2

\( \lambda(x, y) = x^{0.8} \cdot 0.2y^{-0.8} \\ \lambda(8, 10) = 0.17 \)

Interpretation: Wenn sich das Budget (Nebenbedingung) um eine geringfügige Einheit erhöht, dann steigt das Nutzenniveau (zu optimierende Funktion) um 0.17.

Wir sehen also, dass der Lagrange-Multiplikator (Schattenpreis) für den Haushalt anzeigt, wie ein steigendes Budget auf das maximale Nutzenniveau einwirkt. Um diese Änderung von 0.17 wirklich beobachten zu können, muss die Änderung des Budgets jedoch sehr gering ausfallen.