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Lesezeit: 4 Minuten

Isoquante einfach erklärt

von Thomas Jansen

#01 Einführung

Isoquanten werden in der Produktionstheorie verwendet, um das Verhalten und die Entscheidungen von Unternehmen im Hinblick auf die Inputkombinationen zu analysieren. Sie basieren auf der Überlegung, dass ein bestimmtes Outputniveau mit verschiedenen Kombinationen von Produktionsfaktoren (z. B. Arbeit und Kapital) erreicht werden kann. Ähnlich wie Indifferenzkurven in der Konsumtheorie zeigen Isoquanten alle Kombinationen von Inputs, die denselben Output erzeugen. Unternehmen können demnach zwischen verschiedenen Faktorkombinationen wählen, ohne das Produktionsniveau zu verändern.

Die Art, wie die Produktionsfaktoren in Zusammenhang stehen, beeinflusst stark die Form der Isoquante und die Grenzrate der technischen Substitution. Bei substitutiven Produktionsfaktoren tauschen sich Arbeit und Kapital aus. Bei komplementären Produktionsfaktoren ergänzen sich Arbeit und Kapital. Erfahre im Video mehr über die verschiedenen Arten von Isoquanten. In diesem Beitrag konzentrieren wir uns auf die Cobb Douglas Produktionsfunktion.

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#02 Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion wird oft genutzt, um die Kombination aus Einsatzfaktoren zu modellieren, die für Unternehmen zu einer produzierten Menge führen. Sie hat die Form

\( U(L,K) = a \cdot L^\alpha \cdot K^\beta \)

 

Q Produzierte Menge (Quantity)
a Skalierungs- oder Normalisierungskonstante, der die produzierte Menge beeinflusst.
L Die Menge an Arbeit (Labor)
K Die Menge an Kapital

und

β

 Die Elastizitäten der Produktionsfaktoren L und K, die anzeigen, wie sich die produzierte Menge ändert, wenn sich die Menge des jeweiligen Produktionsfaktors um 1 % ändert.
\( U(x,y) = a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta \)

 

U Der Gesamtnutzen, den ein Konsument
aus dem Konsum der Güter zieht.
a Skalierungskonstante, die das
Nutzenniveau beeinflusst.
x Die Menge des ersten Gutes.
y Die Menge des zweiten Gutes.
und

β

 Die Nutzenelastizitäten der Güter
und y, die anzeigen, wie sich der
Nutzen ändert, wenn sich die Menge
des jeweiligen Gutes um 1 % ändert.

Eine Grafik, die eine solche Funktion darstellt, zeigt typischerweise hyperbolische Isoquanten, die anzeigen, wie die produzierte Menge mit verschiedenen Kombinationen von Arbeit und Kapital gleich bleibt.

Die Isoquante zeigt die Kombinationsmöglichkeiten aus Produktionsfaktoren, die zu einem gleichen Produktionsniveau führen.

Indifferenzkurven für zwei Nutzenniveaus

Die Grafik oben zeigt, dass höhere Isoquanten einer höheren produzierten Menge entsprechen. Nun fällt der fallende Verlauf der Isoquante auf. Um diesen zu erklären müssen wir uns mit der Steigung der Isoquante beschäftigen, auch bekannt als Grenzrate der technischen Substitution oder auch Technische Rate der Substitution.

#03 Grenzrate der technischen Substitution

Die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) misst die Rate, zu der ein Unternehmen bereit ist, einen Produktionsfaktor (bspw. Arbeit) gegen einen anderen (bspw. Kapital) zu tauschen, während die produzierte Menge konstant bleibt.

Vereinfacht gesagt beschreibt sie das Austauschverhältnis der beiden Produktionsfaktoren. Dabei entspricht die GRTS dem Verhältnis der Grenzprodukte der beiden Güter.

\( \text{GRTS} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{ \frac{ \delta Q}{ \delta L}}{ \frac{ \delta Q}{ \delta K}} \)
\( GRTS \) Grenzrate der  technischen Substitution
\( MP_L \) Grenzprodukt  von Arbeit
(Partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach L)
\( MP_K \) Grenzprodukt von Kapital von Kapital
(Partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach K)
\( \text{GRS} \) Grenzrate der
Substitution
\( MU_x \) Grenznutzen von Gut x
(Partielle Ableitung der
Nutzenfunktion nach x)
\( MU_y \) Grenznutzen von Gut y
(Partielle Ableitung der
Nutzenfunktio nach y)

Auf einer Isoquante nimmt die GRTS typischerweise ab. Die Grafik zeigt zwei Tangenten an zwei Punkten der Isoquante, deren jeweiliger Anstieg die Grenzrate der technischen Substitution angibt.

Steigung der Indifferenzkurve

Der fallende Verlauf einer Isoquante lässt sich durch das Konzept der Substituierbarkeit der Produktionsfaktoren erklären. Eine Isoquante zeigt alle Kombinationen von zwei Produktionsfaktoren (zum Beispiel Arbeit und Kapital), die zur Herstellung eines bestimmten Outputniveaus führen. Wenn ein Unternehmen die Menge eines Faktors verringert, muss es die Menge des anderen Faktors erhöhen, um denselben Output aufrechtzuerhalten. Diese Notwendigkeit eines Ausgleichs führt zum fallenden Verlauf der Isoquante.

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#04 Grenzrate der technischen Substitution berechnen

Aufgabe Bestimme die Grenzrate der technischen Substitution für folgende Güterkombination:

L = 10 und K = 20
\( Q(L,K) = 4 \cdot L^{0.75} \cdot K^{0.25} \)
Aufgabe Bestimme die Grenzrate der
Substitution für folgende
Güterkombination:x = 10 und y = 20
\( MRTS \) Grenzrate der technischen Substitution
\( MP_L \) Grenznutzen von Gut x
(Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach L)
\( MP_K \) Grenznutzen von Gut y
(Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach K)
\( \text{GRS} \) Grenzrate der
Substitution
\( MU_x \) Grenznutzen von Gut x
(Partielle Ableitung der
Nutzenfunktion nach x)
\( MU_y \) Grenznutzen von Gut y
(Partielle Ableitung der
Nutzenfunktio nach y)
\( \text{GRTS} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{ \frac{ \delta Q}{ \delta L}}{ \frac{ \delta Q}{ \delta K}} \)

Schritt 1:
Partielle Ableitung nach L bilden

\( MP_L = Q'_L = 3 L ^{-0.25} \cdot K^{0.25} \)

Schritt 2:
Partielle Ableitung nach K bilden

\( MP_K = U'_K = 4 L ^{0.75} \cdot 0.25K^{-0.75} \)

Schritt 3:
Einsetzen in GRTS

\( GRTS=\frac{MP_L}{MP_K} \)
\( GRTS = \frac{3 L ^{-0.25} \cdot K^{0.25}}{4L ^{0.75} \cdot 0.25K^{-0.75}} \)
\( GRS = \frac{3K}{L} \)

Schritt 4:
Werte einsetzen

\( GRTS=\frac{3 \cdot 20}{10} = 6 \)

Interpretation

Für den Einsatz einer zusätzlichen (geringfügigen) Einheit Arbeit, muss das Unternehmen auf 6 Einheiten von Kapital verzichten, um immer noch die gleiche produzierte Menge zu erreichen.

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Literatur

Mankiw, N. G., & Taylor, M. P. (2024). Grundzüge der Volkswirtschaftslehre (9., überarbeitete Auflage). Schäffer-Poeschel Verlag.