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Indifferenzkurve & Grenzrate der Substitution: Einfach erklärt

#01 Einführung

Indifferenzkurven werden verwendet, um das Verhalten und die Präferenzen von Konsumenten zu analysieren. Sie basieren auf der ordinalen Nutzentheorie. Diese besagt, dass Konsumenten ihre Präferenzen ordnen können, ohne den exakten Nutzenwert jeder Güterkombination angeben zu müssen. Das bedeutet, dass wir lediglich wissen, welche Güterkombinationen gleich viel Zufriedenheit stiften, ohne den Unterschied in einem absoluten Nutzenwert zu messen. Die Indifferenzkurve zeigt alle Kombinationen von zwei Gütern, die dem Konsumenten denselben Zufriedenheitsgrad bieten. Dies hilft, zu verstehen, wie Konsumenten zwischen verschiedenen Güterbündeln wählen, um ihr Wohlbefinden zu maximieren. Typischerweise wird in Vorlesungen zunächst eine CobbDouglas-Funktion für die mathematische Darstellung verwendet. Diese ist vor allem für das Verständnis von Güterpräferenzen von Bedeutung.

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#02 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion wird oft genutzt, um die Entscheidungsfindung von Konsumenten zu modellieren. Sie hat die Form

$ U(x,y) = a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta $

U	Der Gesamtnutzen (Utility), den ein Konsument aus dem Konsum der Güter zieht.
a	Skalierungs- oder Normalisierungskonstante, die das Nutzenniveau beeinflusst.
x	Die Menge des ersten Gutes.
y	Die Menge des zweiten Gutes.
$α$ und $β$	Die Nutzenelastizitäten der Güter $x$ und y, die anzeigen, wie sich der Nutzen ändert, wenn sich die Menge des jeweiligen Gutes um 1 % ändert.

$ U(x,y) = a \cdot x^\alpha \cdot y^\beta $

U	Der Gesamtnutzen, den ein Konsument aus dem Konsum der Güter zieht.
a	Skalierungskonstante, die das Nutzenniveau beeinflusst.
x	Die Menge des ersten Gutes.
y	Die Menge des zweiten Gutes.
$α$ und $β$	Die Nutzenelastizitäten der Güter $x$ und y, die anzeigen, wie sich der Nutzen ändert, wenn sich die Menge des jeweiligen Gutes um 1 % ändert.

wobei x und y die konsumierten Mengen der Güter x und y darstellen, während α und β die jeweiligen Präferenzen anzeigen. Eine Grafik, die eine solche Funktion darstellt, zeigt typischerweise hyperbolische Indifferenzkurven, die anzeigen, wie der Nutzen mit verschiedenen Kombinationen von x und y gleich bleibt.

Die Indifferenzkurve zeigt die Güterbündel von Gut x und y, die dem Haushalt das gleiche Nutzenniveau ermöglichen.

Die Grafik oben zeigt, dass höhere Indifferenzkurven einem höheren Gesamtnutzen entsprechen. Die Konsumenten bewegen sich entlang dieser Kurven, um verschiedene Kombinationen der Güter x und y zu wählen, die ihnen denselben Nutzen bringen. Nun fällt der fallende Verlauf der Funktion auf. Um diesen zu erklären müssen wir uns mit der Steigung der Indifferenzkurve beschäftigen, auch bekannt als Grenzrate der Substitution.

#03 Die Grenzrate der Substitution

Die Grenzrate der Substitution (GRS) ist ein weiteres wichtiges Konzept in der Analyse von Indifferenzkurven. Sie misst die Rate, zu der ein Konsument bereit ist, ein Gut gegen ein anderes zu tauschen, während der Gesamtnutzen konstant bleibt – vereinfacht gesagt beschreibt sie das Austauschverhältnis der beiden Güter. Dabei entspricht die GRS dem Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter.

$ \text{GRS} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{ \frac{ \delta U}{ \delta x}}{ \frac{ \delta U}{ \delta y}} $

$ \text{GRS} $	Grenzrate der Substitution
$ MU_x $	Grenznutzen (Marginal Utility) von Gut x (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x)
$ MU_y $	Grenznutzen (Marginal Utility) von Gut y (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach y)

$ \text{GRS} $	Grenzrate der Substitution
$ MU_x $	Grenznutzen von Gut x (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x)
$ MU_y $	Grenznutzen von Gut y (Partielle Ableitung der Nutzenfunktio nach y)

Auf einer Indifferenzkurve nimmt die GRS typischerweise ab, was den fallenden Verlauf der Kurve erklärt: Je mehr ein Konsument von Gut x besitzt, desto weniger ist er bereit, von Gut y aufzugeben, um noch mehr von x zu erhalten. Die Grafik zeigt zwei Tangenten an zwei Punkten der Indifferenzkurve, deren jeweiliger Anstieg die Grenzrate der Substitution angibt.

Der fallende Verlauf der GRS entlang einer Indifferenzkurve erklärt sich dadurch, dass der Konsument bei zunehmender Menge eines Gutes (z.B. Gut x) weniger von dem anderen Gut (z.B. Gut y) bereit ist aufzugeben, um noch mehr von Gut x zu erhalten. Dies reflektiert das Gesetz des abnehmenden Grenznutzens, wonach der Grenznutzen jeder zusätzlichen Einheit eines Gutes abnimmt. In grafischer Darstellung neigt sich die Indifferenzkurve nach unten, was die abnehmende Bereitschaft des Konsumenten symbolisiert, ein Gut gegen ein anderes zu tauschen.

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#04 Grenzrate der Substitution berechnen

Aufgabe

Bestimme die Grenzrate der Substitution für folgende Güterkombination:

x = 10 und y = 20

$ U(x,y) = 4 \cdot x^{0.75} \cdot y^{0.25} $

Aufgabe	Bestimme die Grenzrate der Substitution für folgende Güterkombination:x = 10 und y = 20

$ \text{GRS} $	Grenzrate der Substitution
$ MU_x $	Grenznutzen von Gut x (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x)
$ MU_y $	Grenznutzen von Gut y (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach y)

$ \text{GRS} $	Grenzrate der Substitution
$ MU_x $	Grenznutzen von Gut x (Partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x)
$ MU_y $	Grenznutzen von Gut y (Partielle Ableitung der Nutzenfunktio nach y)

$ \text{GRS} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{ \frac{ \delta U}{ \delta x}}{ \frac{ \delta U}{ \delta y}} $

Schritt 1:
Partielle Ableitung nach x bilden

$ MU_x = U'_x = 3 x ^{-0.25} \cdot y^{0.25} $

Schritt 2:
Partielle Ableitung nach y bilden

$ MU_y = U'_y = 4 x ^{0.75} \cdot 0.25y^{-0.75} $

Schritt 3:
Einsetzen in GRS

$ GRS=\frac{MU_x}{MU_y} $

$ GRS = \frac{3 x ^{-0.25} \cdot y^{0.25}}{4x ^{0.75} \cdot 0.25y^{-0.75}} $

$ GRS = \frac{3y}{x} $

Schritt 4:
Werte einsetzen

$ GRS=\frac{3 \cdot 20}{10} = 6 $

Interpretation

Für den Konsum einer zusätzlichen (geringfügigen) Einheit von Gut x, muss der Haushalt auf 6 Einheiten von Gut y verzichten, um immer noch das gleiche Nutzenniveau zu erreichen.

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#05 Substitutive & Komplementäre Güter

Die Art der Güter beeinflusst stark die Form der Indifferenzkurven und die Grenzrate der Substitution. Bei substitutiven Gütern, wie Kaffee und Tee, verlaufen Indifferenzkurven flacher, da der Konsument bereit ist, relativ große Mengen eines Gutes für das andere aufzugeben. Bei komplementären Gütern, wie Autos und Benzin, sind die Indifferenzkurven rechtwinklig.

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Literatur

Mankiw, N. G., & Taylor, M. P. (2024). Grundzüge der Volkswirtschaftslehre (9., überarbeitete Auflage). Schäffer-Poeschel Verlag.