Kostenminimierung: Isokostenlinie und Isoquante
von Thomas Jansen
#01 Einführung
Die Kostenminimierung in der Produktion beschreibt, wie Unternehmen ihre Produktionsfaktoren so kombinieren, dass sie ein gegebenes Produktionsniveau zu den geringstmöglichen Kosten erreichen. Dieser Prozess basiert auf der Beziehung zwischen der Isoquante, die verschiedene Kombinationen von Produktionsfaktoren für ein konstantes Produktionsniveau darstellt, und der Isokostenlinie, welche die Kostenbeschränkungen des Unternehmens reflektiert. Zusammen helfen diese beiden Elemente, die kostengünstigste Kombination von Produktionsfaktoren zur Erreichung eines bestimmten Outputniveaus zu bestimmen.
#02 Isoquante
Die Isoquante repräsentiert alle Kombinationen zweier Produktionsfaktoren, die dasselbe Outputniveau ermöglichen.
Eine häufig verwendete Form zur Beschreibung der Isoquante ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:
| Q | Der Output, den ein Unternehmen mit der Kombination der Produktionsfaktoren erzielt. |
|---|---|
| a | Skalierungsfaktor, der das Produktionsniveau beeinflusst. |
| L | Die Menge des Faktors Arbeit. |
| K | Die Menge des Faktors Kapital. |
| und | Produktionselastizitäten der Faktoren, die anzeigen, wie sich der Output bei einer Änderung der Menge des jeweiligen Faktors verändert. |
| U | Der Gesamtnutzen, den ein Konsument aus dem Konsum der Güter zieht. |
|---|---|
| a | Skalierungs- oder Normalisierungskonstante, die das Nutzenniveau beeinflusst. |
| x | Die Menge des ersten Gutes. |
| y | Die Menge des zweiten Gutes. |
|
und |
Die Nutzenelastizitäten der Güter und y, die anzeigen, wie sich der Nutzen ändert, wenn sich die Menge des jeweiligen Gutes um 1 % ändert. |
Hierbei stehen L und K für die Mengen der Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital, während α und β die Elastizitäten darstellen, die die Gewichtung der jeweiligen Faktoren im Produktionsprozess reflektieren. Diese Funktion erzeugt eine Familie konvexer Isoquanten, die abnehmende Grenzprodukte der Produktionsfaktoren veranschaulichen.
| Kardinale Nutzentheorie |
Beispiel |
|---|---|
| Wie viel besser ist ein Gut? |
Döner hat den doppelten Wert von Pizza. |
#03 Grenzrate der technischen Substitution
Die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) beschreibt die Steigung der Isoquante und zeigt das Verhältnis an, in dem ein Unternehmen bereit ist, einen Produktionsfaktor durch einen anderen zu ersetzen, um dasselbe Outputniveau zu erreichen.
Mathematisch ergibt sich die GRTS aus dem Verhältnis der Grenzprodukte der Produktionsfaktoren:
| \( MU_x \) | Das Grenzprodukt der Arbeit. |
|---|---|
| \( MU_y \) | Das Grenzprodukt des Kapitals. |
| \( MU_x \) | Der Grenznutzen (Marginal Utility) von Gut x. |
|---|---|
| \( MU_y \) | Der Grenznutzen (Marginal Utility) von Gut y. |
Die GRTS verdeutlicht, dass bei einer höheren Menge des Faktors Arbeit das Unternehmen bereit ist, weniger von Kapital einzusetzen, was die abnehmenden Grenzprodukte beider Faktoren widerspiegelt und den fallenden Verlauf der Isoquante erklärt.
| Ordinale Nutzentheorie |
Beispiel |
|---|---|
| Ist ein Gut besser? | Döner ist besser als Pizza. |
#04 Die Isokostenlinie
Die Isokostenlinie zeigt die maximal mögliche Kombination der Produktionsfaktoren, die ein Unternehmen bei gegebenem Budget und Preisen der Produktionsfaktoren erwerben kann.
Sie wird durch die folgende Gleichung dargestellt:
| C | Kosten (ohne Fixkosten) |
|---|---|
| w | Kosten des Faktors Arbeit (Lohn) |
| L | Menge des Faktors Arbeit |
| r | Kosten des Faktors Kapital (Mietzins) |
| K | Menge des Faktors Kapital |
Die Steigung der Isokostenlinie entspricht dem negativen Verhältnis der Preise der Produktionsfaktoren, auch als relative Faktorpreise bekannt:
| w | Kosten des Faktors Arbeit (Lohn) |
|---|---|
| r | Kosten des Faktors Kapital (Mietzins) |
Ein Beispiel: Wenn der relative Faktorpreis 2 beträgt, muss das Unternehmen bei gegebenem Budget für eine weitere Einheit Arbeit auf zwei Einheiten Kapital verzichten.
#05 Graphische Lösung
Zur Ermittlung der kostenminimierenden Faktorallokation werden Isoquanten und Isokostenlinien in einem Diagramm kombiniert. Der optimale Punkt, an dem ein Unternehmen die geringstmöglichen Kosten für ein gegebenes Outputniveau erzielt, liegt dort, wo eine Isoquante die Isokostenlinie tangiert. In diesem Punkt wird das Outputniveau bei minimalen Kosten erreicht, da die Grenzrate der technischen Substitution den relativen Faktorpreisen entspricht.
In der grafischen Darstellung repräsentiert dieser Tangentialpunkt die kostengünstigste Kombination der Produktionsfaktoren zur Erreichung eines bestimmten Outputniveaus. Die Kosten von 1 Geldeinheit (rot) würden in diesem Beispiel nicht das angestrebte Produktionsniveau von 10 ermöglichen.
Literatur
- Mankiw, N. G., & Taylor, M. P. (2024). Grundzüge der Volkswirtschaftslehre (9., überarbeitete Auflage). Schäffer-Poeschel Verlag.