Tangential-Methode: Berechnung des Haushalt-Optimums
von Thomas Jansen
#01 Einführung
Das Tangentialverfahren ermöglicht es uns, zu bestimmen, wie ein Haushalt sein Einkommen optimal auf zwei Güter verteilen kann, um seinen Nutzen zu maximieren. Das Haushaltsoptimum repräsentiert dabei diejenige Güterkombination, die ein Konsument bei einem vorgegebenen Budget wählen sollte, um die größtmögliche Zufriedenheit zu erlangen. Zur grafischen Veranschaulichung werden zwei Kurven verwendet.
Budgetgerade
Die Budgetgerade zeigt, welche Kombinationen von Gütern der Haushalt sich mit seinem Einkommen leisten kann.
Indifferenzkurve
Die Indifferenzkurve zeigt Kombinationen von Gütern, die dem Konsumenten das gleiche Maß an Zufriedenheit (Nutzen) bringen.
Haushalts-Optimum
Das Haushaltsoptimum befindet sich am Tangentialpunkt zwischen der Budgetgeraden und der Indifferenzkurve. An diesem Punkt entspricht die Grenzrate der Substitution den relativen Preisen, da dort die Steigungen beider Kurven übereinstimmen.
#02 Schematische Darstellung des Tangential-Verfahrens
Das Haushaltsoptimum wird erreicht, wenn die Steigung der Indifferenzkurve (Grenzrate der Substitution) mit der Steigung der Budgetgeraden (relative Preise) übereinstimmt. Dies zeigt an, dass der Konsument die optimale Kombination der Güter gewählt hat, um den Nutzen bei begrenztem Budget maximal zu gestalten.
Das Optimierungsproblem lässt sich demnach wie folgt darstellen:
Maximiere die Nutzenfunktion:
\( U(x,y) \)
unter Einhaltung der Budgetrestriktion:
\( m=p_x \cdot x + p_y \cdot y \)
Für die Berechnung des Haushalts-Optimums mithilfe des Tangential-Verfahrens kann sich an folgenden Schritten orientiert werden:
Schritt 1: Relative Preise bestimmen
Schritt 2: Grenzrate der Substitution ermitteln
Schritt 3: In die Bedingung für das Vorliegen des Haushalts-Optimums einsetzen und auflösen
Schritt 4: In die Formel der Budgetrestriktion einsetzen
Schritt 5: In das Ergebnis aus Schritt 3 einsetzen
Schritt 6: In die Nutzenfunktion einsetzen
#03 Tangential-Methode am Beispiel
Für unser Beispiel nehmen wir einen Haushalt, der zwei Güter „x“ und „y“ konsumieren möchte. Für den Konsum hat er ein Budget von 100€ zur Verfügung. Gut x kostet den Haushalt 10€ und Gut y kostet den Haushalt 2€. Darüber hinaus ist eine Cobb Douglas-Nutzenfunktion gegeben. Die gegebenen Informationen sowie die angenommene Nutzenfunktion sind in der Tabelle zusammengefasst:
Nutzenfunktion:
\( U(x,y)=2 x^{0.8} \cdot y^{0.2} \)
unter Einhaltung der Budgetrestriktion:
\(100=10 x + 2 y \)
Im Folgenden findest du die Schritte, die zur Berechnung des Haushalts-Optimums mithilfe der Tangential-Methode notwendig sind:
