Hedges’ g für unabhängige Gruppen: Effektstärke berechnen und einordnen.

Du vergleichst zwei getrennte Gruppen? Trag Mittelwerte, SDs und Gruppengrößen, einen t-Wert oder deine Rohdaten ein. Der Rechner zeigt dir Hedges’ g und g* mit Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall, dazu den Rechenweg und eine Abbildung.

Drei Varianten im Vergleich
Mit Rechenweg und Abbildung
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Berechnungsgrundlage.

Hedges’ g ist ein Effektmaß in der Statistik, das ähnlich wie Cohens d die Größe des Effekts zwischen zwei Gruppen misst. Es korrigiert jedoch Verzerrungen in kleinen Stichproben. Negative Werte zeigen eine umgekehrte Beziehung an. Es erleichtert Vergleiche über Studien hinweg, besonders bei begrenzten Stichproben & sollte somit vorzugsweise bei der Durchführung von Meta-Analysen Anwendung finden.

Es kann zwischen einer Berechnung auf Basis von Mittelwerten (M), Standardabweichung (SD) und Gruppengrößen (n) oder einem t-Wert und Freiheitsgraden (df) bzw. Gruppengrößen (n₁ & n₂) gewählt werden. Hedges’ g (manchmal auch d_s) ist ein inferentielles Maß.

Die Berechnungen orientierten sich an den Vorlagen von Cohen (1962), Hedges (1981), Glass et al. (1981), Borenstein (2009), Cumming (2012) und Borenstein et al. (2021). Daraus ergeben sich vier verschiedene Möglichkeiten, g zu berechnen. Die Berechnung aus einem t-Wert und Gruppengröße bzw. Freiheitsgrade (df) bezieht sich auf die Variante von Borenstein et al. (2019).

Darüber hinaus werden für die Berechnung der Standardabweichungen die Freiheitsgrade (df) und nicht die eigentliche Gruppengröße (n) genutzt. Darin liegt der Unterschied zu Cohens d als rein deskriptives Maß.

Hedges’ \({g}\)

Hedges (1981), gleiche Varianzen: \({\sigma_{1} = \sigma_{2} (= \sigma)}\)

\[ g_{1} = \frac{M_{1} - M_{2}}{S_{\text{pooled}}} = t \cdot \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}} \]

Hedges (1981), ungleiche Varianzen: \({\sigma_{1} \neq \sigma_{2}}\)

\[ g_{2} = \frac{M_{1} - M_{2}}{S_{\text{av}}} \]

Glass et al. (1981), SD der Kontrollgruppe (C)

\[ g_{3} = \frac{M_{1} - M_{2}}{S_{\text{C,k}}} \]

Hedges’ \({g^{*}}\)

\[ g^{*} = g \cdot \left( 1 - \frac{3}{4 \cdot df - 1} \right) \qquad df = n_{1} + n_{2} - 2 \]

Für \({g_{3}}\) gibt es \({g^{*}}\) hier nicht.

Standardabweichungen

Welche SD du einträgst, hängt von der Variante ab. Bei \({g_{1}}\) ist es die SD mit \({n - 1}\) im Nenner. Bei \({g_{2}}\) und \({g_{3}}\) ist es die SD mit \({n}\) im Nenner, der Rechner setzt sie dann auf die Freiheitsgrade um. Das zeigt der Index \({\text{k}}\).

Gepoolte Standardabweichung

\[ S_{\text{pooled}} = \sqrt{\frac{(n_{1} - 1) \cdot S_{1}^{2} + (n_{2} - 1) \cdot S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}} \]

Umsetzen auf Freiheitsgrade

\[ S_{\text{k}} = S \cdot \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \]

Mittlere Standardabweichung

\[ S_{\text{av}} = \sqrt{\frac{S_{1,\text{k}}^{2} + S_{2,\text{k}}^{2}}{2}} \]

Wie stark \({g_{1}}\) und \({g_{1}^{*}}\) von Cohens \({d_{1}}\) abweichen

Beide Korrekturen machen den Betrag des Effekts kleiner. Aus denselben Daten folgt:

\[ g_{1} = d_{1} \cdot \sqrt{\frac{n_{1} + n_{2} - 2}{n_{1} + n_{2}}} \]

Je kleiner die Stichprobe, desto stärker die Korrektur. Bei insgesamt 10 Personen bleiben von \({d_{1}}\) noch 89 % als \({g_{1}}\) und 81 % als \({g_{1}^{*}}\). Bei 60 Personen sind es 98 % und 97 %.

Standardfehler und Konfidenzintervall

Beide gibt es für \({g_{1}}\) und \({g_{2}}\), auch auf dem Weg über den \({t}\)-Wert. Bei \({g_{3}}\) sind sie nicht möglich.

\[ SE_{g} = \sqrt{\frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1} \cdot n_{2}} + \frac{g^{2}}{2 \cdot (n_{1} + n_{2} - 2)}} \]

Für \({g^{*}}\) gilt dieselbe Formel mit \({g^{*}}\) statt \({g}\). Das 95-%-Konfidenzintervall läuft über die \({t}\)-Verteilung:

\[ g \pm t_{0{,}975;\,df} \cdot SE_{g} \qquad df = n_{1} + n_{2} - 2 \]

Der \({t}\)-Wert wird aus der inversen \({t}\)-Verteilung bestimmt und berücksichtigt die Stichprobengröße. Bei kleinen Stichproben ist \({t_{0{,}975;\,df} \gt 1{,}96}\), was zu korrekterweise breiteren Konfidenzintervallen führt.

Interpretation

Konvention zur Interpretation von \({g}\) nach Cohen (1992):

Betrag von \({g}\)	Einordnung
\({\|g\| \lt 0{,}20}\)	kein Effekt
\({0{,}20 \le \|g\| \lt 0{,}50}\)	kleiner Effekt
\({0{,}50 \le \|g\| \lt 0{,}80}\)	moderater Effekt
\({\|g\| \ge 0{,}80}\)	großer Effekt

Mehr dazu findest du in der Interpretationshilfe.

Literatur

Borenstein (2009). Effect sizes for continuous data. In H. Cooper, L. V. Hedges, & J. C. Valentine (Eds.), The handbook of research synthesis and meta analysis (pp. 221-237). New York: Russell Sage Foundation.
Borenstein, M., Hedges, L. V., Higgins, J. P. T. & Rothstein, H. R. (2021). Introduction to Meta-Analysis. John Wiley & Sons.
Cohen, J. (1962). The statistical power of abnormal-social psychological research: A review. The Journal of Abnormal and Social Psychology, 65(3), 145–153. https://doi.org/10.1037/h0045186
Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112(1), 155–159. https://doi.org/10.1037/0033-2909.112.1.155
Hedges, L. V. (1981). Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128. https://doi.org/10.2307/1164588

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Häufige Fragen zu Hedges’ g bei unabhängigen Gruppen.

Welche Standardabweichung trage ich ein?

Das hängt von der Variante ab. Bei \({g_{1}}\) trägst du die SD mit \({n - 1}\) im Nenner ein, bei \({g_{2}}\) und \({g_{3}}\) die SD mit \({n}\) im Nenner. Der Hinweis am Feld zeigt dir, welche gemeint ist. Mit Rohdaten erledigt der Rechner alles selbst.

Was ist der Unterschied zwischen \({g}\), \({g^{*}}\) und Cohens \({d}\)?

Cohens \({d}\) ist rein deskriptiv. Hedges’ \({g}\) nutzt die Besselkorrektur, \({g^{*}}\) korrigiert zusätzlich für kleine Stichproben. Das deskriptive Maß berechnest du mit dem Rechner für Cohens \({d}\).

Worin unterscheiden sich die drei Varianten?

\({g_{1}}\) geht von gleichen Varianzen aus und nutzt die gepoolte SD, \({g_{2}}\) lässt ungleiche Varianzen zu und nutzt die mittlere SD. \({g_{3}}\) nach Glass et al. (1981) teilt durch die SD der Kontrollgruppe.

Wie berechne ich \({g}\) aus einem \({t}\)-Wert?

Wähl bei den Eingaben \({t}\)-Wert. Mit \({t}\) und beiden Gruppengrößen ergibt sich \({g_{1} = t \cdot \sqrt{1 / n_{1} + 1 / n_{2}}}\).

Wann zeigt der Rechner Standardfehler und Intervall?

Für \({g_{1}}\) und \({g_{2}}\), auch über den \({t}\)-Wert. Bei \({g_{3}}\) steht „nicht möglich“, dort gibt es auch kein \({g^{*}}\).

Wie berichte ich das Ergebnis?

Nenne Kennwerte, Variante und, falls vorhanden, die Intervalle. Zum Beispiel: Gruppe 1 (\({M = 68{,}50}\); \({SD = 11{,}70}\); \({n = 32}\)) lag über Gruppe 2 (\({M = 61{,}20}\); \({SD = 12{,}40}\); \({n = 28}\)), \({g = 0{,}61}\), 95-%-KI [0,08; 1,14]; \({g^{*} = 0{,}60}\), 95-%-KI [0,07; 1,13] (Hedges, 1981; gleiche Varianzen). Der Rechner erstellt dir diesen Satz mit deinen Werten.